Как доказать неотрицательную определенность функции?

[Kornelij]

Как доказать, что функция $f(x,y)=e^{xy}$ неотрицательно определена?
Вот пытаюсь по определению, но не выходит... Может, какая-то хитрость должна быть?

[maxmatem]

напишите ваше definition

[мат-ламер]

Вот похожая задача http://dxdy.ru/topic12210.html.

[Kornelij]

Вот именно по этому примеру и пытался сделать(( Если через матрицу, то как сейчас это применить, ведь ф-ия не от разности, а от произведения, а если по теореме Бохнера-Хинчина, то в той ветке я уже задавал вопрос по этой теореме, но там на него пока не ответили((

[RIP]

Прокомментировал в той теме. Тех комментариев должно хватить, чтобы решить эту задачу. (В качестве линейного пространства можно взять пространство числовых последовательностей (правда, с некими условиями на рост, но это не очень существенно), а чтобы угадать скалярное произведение и нужные векторы, разложите экспоненту в ряд Тейлора. Впрочем, после разложения в ряд всё сразу становится очевидно, даже никаких скалярных произведений не надо.)

[Kornelij]

А можно по порядку? Торможу сильно(( Было одно-единственное определение (первое сообщение в post486515.html#p486515) неотрицательной определенности, потом вдруг пошли матрицы (почему? зачем?), потом теор. Бохнера-Хинчина (где там логика?), теперь линейные пространства и числовые последовательности. Ничего не понимаю(((( Мне надо было доказать, что моя функция является ковариационной. Мне сказали, что для этого достаточно доказать, что она неотрицательно определенена. Пожалуйста, объясните мне, как это сделать, но чтобы лоика была, чтобы я смог хоть что-то понять((((

[AD]

Минздравсоцразвития форума dxdy.ru предупреждает о вреде чрезмерного употребления открывающихся круглых скобочек.

[MaximVD]

Kornelij
У вас есть какая-то функция - f(x, y). Вам нужно доказать её неотрицательную определённость, т.е. проверить, что

$$ \forall n \ \forall t_1, \ldots, t_n \in \mathbb{R}, \ \forall z_1, \ldots, z_n \in \mathbb{C} \ \sum_{i, j =1}^n f(t_i, t_j) z_i \overline{z_j} \ge 0. $$

Давайте зафиксируем какое-то $n$ и какие-то $t_1, \ldots, t_n \in \mathbb{R}$ и внимательно посмотрим на требуемое неравенство... Это ведь ничто иное, как определение неотрицательной определённости эрмитовой квадратичной формы с матрицей $M_n = \{ f(t_i, t_j) \}_{i, j = 1}^n$. Отсюда и возникли матрицы и вопросы о их положительной определённости.

[Kornelij]

О, это теперь понятно. А если в качестве исследуемой функции будет $f(x,y)=e^{xy}$, то тогда тоже считать определители? А как? Там совсем не так красиво выходит, как в упомянутом примере http://dxdy.ru/topic12210.html

[MaximVD]

Можете попытаться посчитать определитель. Правда, сложно сказать заранее, выйдет ли из этого что-нибудь хорошее. А можете попытаться воспользоваться советом RIP'а.

[Kornelij]

С определителем не выходит. А совет RIP (ядра интегральных операторов) для меня совсем темный лес.

[ewert]

Оператор, задаваемый матрицей $\left\{e^{t_it_k}\right\}_{i,k=1}^n=\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{1}{j!}\left\{t_i^jt_k^j\right\}_{i,k=1}^n$ -- это сумма операторов, каждый из которых пропорционален одномерному ортопроектору на вектор $(t_1^j,t_2^j,\ldots,t_n^j).$ А поскольку ортопроекторы неотрицательны -- неотрицательна и вся сумма. Чтобы убедиться в её строгой положительности, достаточно проверить строгую положительность хотя бы одной частичной суммы (поскольку дальше положительность будет лишь усиливаться -- во всяком случае, не ослабляться). Ну так во всяком случае сумма первых $n$ слагаемых даёт строго положительную матрицу, поскольку первые $n$ упомянутых векторов линейно независимы.

[Kornelij]

Мы ортопроекторы не проходили... да и бесконечные матричные суммы тоже
Может, как-то проще можно?

[ewert]

Проще никак. Разве что поменять некоторые слова.

Матрица $A$ называется неотрицательной, если $(A\vec z,\vec z)\equiv\sum\limits_{i,k=1}^na_{ik}z_k\overline z_i\geqslant0$ для любого вектора $\vec z=(z_1,z_2,\ldots,z)^{{}^T}$ (имеется в виду транспонирование, т.е. столбец). Матрица называется положительно определённой, если это неравенство всегда строгое (кроме, естественно, случая нулевого вектора). При этом очевидно: сумма любого количества неотрицательных матриц -- неотрицательна, и сумма положительной и неотрицательной матриц -- положительна.

У Вас элементы матрицы $A$ -- это $a_{ik}=e^{t_it_k}=\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{1}{j!}t_i^jt_k^j,$ и это вовсе не обязательно рассматривать как "матричный ряд", вполне достаточно того, что каждый элемент матрицы представлен в виде ряда Тейлора для экспоненты. Пусть $D^{(j)}$ -- матрица с элементами $d^{(j)}_{ik}=t_i^jt_k^j$. Такая матрица неотрицательна по большому счёту потому, что пропорциональна ортопроектору, но самого слова "ортопроектор" знать вовсе не обязательно -- факт неотрицательности очень легко проверяется в лоб:

$(D^{(j)}\vec z.\vec z)=\sum\limits_{i,k=1}^nd^{(j)}_{ik}z_k\overline z_i=\sum\limits_{i,k=1}^nt_i^jt_k^jz_k\overline z_i=\sum\limits_{k=1}^nt_k^jz_k\cdot\overline{\sum\limits_{i=1}^nt_i^jz_i}=\left|\sum\limits_{k=1}^nt_k^jz_k\right|^2\geqslant0$

(т.е. неотрицательность имеет место для вообще любых матриц с элементами вида $\alpha_i\overline\alpha_k.$) Тогда и матрица $A^{(m)}=\sum\limits_{j=0}^m\frac1{j!}D^{(j)}$ неотрицательна, т.е. $(A^{(m)}\vec z,\vec z)\geqslant0$ для любого $\vec z$ и для любого $m$. Но тогда и $(A\vec z,\vec z)=\lim\limits_{m\to\infty}(A^{(m)}\vec z,\vec z)\geqslant0$ для любого $\vec z$ (предел существует просто потому, что он существует по каждому элементу матрицы). Вот и вся неотрицательность.

[Kornelij]

Вы не поверите, но я час читал и... , кажется, понял.
Спасибо!