Функция, непрерывная в одной точке

[JMH]

Нужно привести пример функции $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ (топология стандартная), непрерывной в точности в одной точке.

Если я правильно понимаю условие, функция должна быть определелена на всей числовой прямой, но всюду, кроме одной точки, быть разрывной. Хотелось бы проверить функцию на непрерывность в тех же терминах, в которых непрерывность в данной книге определяется:

Цитата:

Функция $f:X\to Y$ называется непрерывной, если для каждого подмножества $V$, открытого в $Y$, $U=f^{-1}(V)$ открыто в $X$

Идей много но все какие-то кривые и не приводят к ответу, например такая: пусть $x_0$ - эта самая точка, $V_{\alpha}$ - множество окрестностей $f(x_0)$, тогда должно выполняться $x_0=\displaystyle\bigcap_{\alpha}f^{-1}(V_{\alpha})$; при этом ни одно $f^{-1}(V_{\alpha})$ не открыто в $\mathbb{R}$... Заранее благодарю за любые идеи.

[Dan B-Yallay]

Скрестите Дирихле с параболой.

Примера для указанного определения не найдете, так как там где-то в контексте подразумевается что $f$ непрерывна на всем $X$.

[Kallikanzarid]

$$f(x) = \begin{cases}x, & x \in \mathbb{Q},\\ 0, & x \not\in \mathbb{Q}.\end{cases}$$

[JMH]

Dan B-Yallay в сообщении #487058 писал(а):

Скрестите Дирихле с параболой.

Примера для указанного определения не найдете, так как там где-то в контексте подразумевается что $f$ непрерывна на всем $X$.

Да, Вы правы, функция, непрерывная в точке, пожалуй, может быть определена только через предел. А как быть с Дирихле, она ведь везде разрывна?

[Dan B-Yallay]

Так помножьте ее на икс в квадрате. Ноль и будет той точкой. Или вон Вам другой пример подкинули. Перемножили того же Дирихле с просто икс.

[JMH]

Да, понял, спасибо!

[ewert]

(Оффтоп)

Dan B-Yallay в сообщении #487061 писал(а):

Так помножьте ее на икс в квадрате. Ноль и будет той точкой. Или вон Вам другой пример подкинули. Перемножили того же Дирихле с просто икс.

Это у Вас подсознательно возникло желание, чтоб она оказалась ещё и дифференцируемой.