Нужно привести пример функции
![$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/b/27b139797004d45bb00561c22b439f8482.png)
(топология стандартная), непрерывной в точности в одной точке.
Если я правильно понимаю условие, функция должна быть определелена на всей числовой прямой, но всюду, кроме одной точки, быть разрывной. Хотелось бы проверить функцию на непрерывность в тех же терминах, в которых непрерывность в данной книге определяется:
Цитата:
Функция
![$f:X\to Y$ $f:X\to Y$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/0/fe00d9fd47df307a45042267bbb8ccf682.png)
называется непрерывной, если для каждого подмножества
![$V$ $V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a3a4a202d80326bda413b5562d5cd182.png)
, открытого в
![$Y$ $Y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/a/91aac9730317276af725abd8cef04ca982.png)
,
![$U=f^{-1}(V)$ $U=f^{-1}(V)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/f/9af2e8a1130c6431a8b5b98c1e4f4f3e82.png)
открыто в
![$X$ $X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbfb1b2a33b28eab8a3e59464768e81082.png)
Идей много но все какие-то кривые и не приводят к ответу, например такая: пусть
![$x_0$ $x_0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/1/e714a3139958da04b41e3e607a54445582.png)
- эта самая точка,
![$V_{\alpha}$ $V_{\alpha}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/d/86df96bf377e69888a2ed620465eb25482.png)
- множество окрестностей
![$f(x_0)$ $f(x_0)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/d/ffd7dcd51a1e31109ed5f4104777c8d382.png)
, тогда должно выполняться
![$x_0=\displaystyle\bigcap_{\alpha}f^{-1}(V_{\alpha})$ $x_0=\displaystyle\bigcap_{\alpha}f^{-1}(V_{\alpha})$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/e/d8e8d4c8b1ea5bf0dce5eee0f2527e8082.png)
; при этом ни одно
![$f^{-1}(V_{\alpha})$ $f^{-1}(V_{\alpha})$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/c/b/9cb07713de35826a738a91d2fa750a7782.png)
не открыто в
![$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/e/f3e711926cecfed3003f9ae341f3d92b82.png)
... Заранее благодарю за любые идеи.