Напишу концовку доказательства, исходя из того, что корни уравнений рациональны, пока неясности с предыдущим пунктом.
Пусть
, где
- целое число,
, где
- целое число.
Тогда
Отсюда
- целое число,
- целое число.
Отметим, что
и
- взаимно простые числа,
и
- взаимно простые числа.
Поскольку
, то есть не имеют общего делителя, кроме общего делителя
и
(если таковой имеется) и
, если
- целое число , и поскольку
(эта формула выведена на предыдущих страницах мого доказательства), а
(или
) и
( или
) - общие делители
и
сокращаются,
(или
) - делитель
, то
-целое число, то есть
- целое число,
- целое число, что невозможно. Мы пришли к противоречию. Значит, наше первоначальное педположение было не верным. Уравнение
не имеет решений в рациональных числах.