Схема Даниеля и теорема Хана-Банаха

[sergei1961]

Существует ли такой подход к теории интеграла скажем Лебега, в котором начиналось бы всё по схеме Даниеля, то есть определялся бы интеграл на пробных, например, ступенчатых функциях, но его продолжение проводилось бы с использованием теоремы Хана-Банаха (доказанной впервые на самом деле Хелли)? От многообразия ступенчатых функций куда продолжаться, в какое полное пространство-вот наверное основной вопрос? А так получачался бы наверное самый короткий подход к интегралу Лебега.

[ewert]

sergei1961 в сообщении #486376 писал(а):

А так получачался бы наверное самый короткий подход к интегралу Лебега.

Но и самый неразумный: теорема Хана-Банаха неконструктивна. И прибегать к ней следует лишь от отчаяния, которого среди интегралов Лебега не наблюдается.

[AD]

Применение теорем типа Хана-Банаха позволило бы получить огромное количество противоречащих друг другу интегралов, ни один из которых не выглядит предпочтительным. Нам это надо?

-- Пн сен 26, 2011 09:57:58 --

sergei1961 в сообщении #486376 писал(а):

От многообразия ступенчатых функций куда продолжаться, в какое полное пространство-вот наверное основной вопрос?

И это тоже, да.

[sergei1961]

Я не согласен с Вами. Есть и там. Природа этого отчаяния одинакова для т. ХХБ или интеграла Лебега. Если говорить серьёзно, то и теорема ХХБ основана на лемме Цорна, то есть на аксиоме произвольного выбора, но и существоание неизмеримых множеств по Лебегу, теория которых (теория меры) предшествует при классическом подходе теории интеграла, также основано на прямом применении континуальной аксиомы выбора. Один хрен и одна редька. Разве не так? Просто мы привыкли к привычному и не задумываемся, что там в основаниях лежит. А радикальное средство от отчаяния-это аксиома детермининированности или её подобные, или хотя бы чёткое честное осознание, что лежит в основах того, чем я занимаюсь...

-- 26.09.2011, 10:14 --

А почему противоречащих? А разные-да, надо. Например, в стохастических ДУ первые шаги стандартной схемы исследования-сведения к интегральному уравнению и затем применения метода последовательных приближений для численного решения-уже не допускают обычных интегралов. Нужны другие и при разных подхода разные. И в тервере так для случайных процессов, и в негладкой оптимизации. И их там есть и полно разных. Смысл схемы Даниеля в том как я понимаю, чтобы строить интеграл от произвольного набора множеств, а не только числовых, как по Лебегу, и измеримость потом определять интегралом, а не наоборот.

[ewert]

sergei1961 в сообщении #486485 писал(а):

но и существоание неизмеримых множеств по Лебегу, теория которых (теория меры) предшествует при классическом подходе теории интеграла, также основано на прямом применении континуальной аксиомы выбора. Один хрен и одна редька. Разве не так?

Конечно нет, это какая-то совершенно изнаночная логика. Для доказательства измеримости множеств вовсе не нужно знать, существуют ли множества неизмеримые. Не существуют -- хорошо; существуют -- ну и бог с ними. Измеримость же доказывается вполне конструктивно и никакой аксиомы выбора не требует. Поэтому Хан-Банах тут и совершенно неуместен.

[sergei1961]

Я понял Ваш подход-рассматривать только теорию измеримых множеств, а неизмеримые игнорировать. Но не думаю, что и теорию измеримых множеств можно построить без аксиомы выбора в континуальном варианте. Поэтому мера неконструктивности обеих конструкций одинакова-она заключается в использовании одной и той же аксиомы. Но точно я тут не знаю, спорить не буду.

[ewert]

sergei1961 в сообщении #486499 писал(а):

не думаю, что и теорию измеримых множеств можно построить без аксиомы выбора в континуальном варианте.

Ну а где конкретно она там используется?

Формальное определение внешней и внутренней мер аксиомы выбора не требует, это всего лишь формальное определение. То, что определяемые через них измеримые множества образуют сигма-алгебру -- тоже доказывается вполне конструктивно. Наконец, ключевой (с практической точки зрения) вопрос о том, что любое открытое множество измеримо -- всего лишь элементарное следствие сигма-алгебровости. И чего ещё желать?...

-- Пн сен 26, 2011 11:23:24 --

sergei1961 в сообщении #486499 писал(а):

Я понял Ваш подход-рассматривать только теорию измеримых множеств, а неизмеримые игнорировать.

Он не мой, он в математике общепринят: любая математическая конструкция имеет смысл лишь при определённых ограничениях. И в этом есть глубокий философский смысл -- это отражает принципиальную ограниченность нашего знания в любой конкретный момент времени и, соответственно, необходимость чёткого осознания этой ограниченности.

[AD]

sergei1961 в сообщении #486485 писал(а):

строить интеграл от произвольного набора множеств, а не только числовых, как по Лебегу

Интеграл от набора множеств - это как? И с каких пор интеграл Лебега ограничивается функциями числовых переменных?

[Mopnex]

sergei1961 в сообщении #486376 писал(а):

Существует ли такой подход к теории интеграла скажем Лебега, в котором начиналось бы всё по схеме Даниеля, то есть определялся бы интеграл на пробных, например, ступенчатых функциях, но его продолжение проводилось бы с использованием теоремы Хана-Банаха (доказанной впервые на самом деле Хелли)? От многообразия ступенчатых функций куда продолжаться, в какое полное пространство-вот наверное основной вопрос? А так получачался бы наверное самый короткий подход к интегралу Лебега.

http://**invalid link**/photo/my-images/383/11ad6.jpg/

[Oleg Zubelevich]

Mopnex в сообщении #486910 писал(а):

http://**invalid link**/photo/my-images/383/11ad6.jpg/

Во-первых в ветке обсуждается интеграл Лебега, а не Римана. Во-торых определение интеграла Римана из этого листка не эквивалентно общепринятому см. Л. Шварц Анализ, том 1.

-- Вт сен 27, 2011 19:32:18 --

Про неприятности, которые возникают при попытке использовать теорему Хана-Банаха в построении интеграла Лебега (правда несколько иным способом) писал Эдвардс Функциональный Анализ

[sergei1961]

За Эдвардса спасибо, буду смотреть.