Основы теории управления. Понятие частотных характеристик.

[Mikle1990]

Понятие частотных характеристик.
Если подать на вход системы с предаточной функцией $W(s)$ гармонический сигнал
$x(t)=U_{m}e^{iwt}=U_{m}(\cos{wt}+i\sin{wt})$,
то после завершения переходного процесса на выходе установятся гармонические колебния
$y(t)=Y_{m}e^{i(wt+\varphi)}=Y_{m}e^{iwt}e^{i\varphi}$

На зачёте учительница попросила написать "гармонический сигнал" и "гармонические колебания" - т.е. $x(t)$ и $y(t)$. Я взял и написал, как написано выше. Она посмотрела и сказала, что надо написать эти вещи без мнимой части. Подскажите пожалуйста где найти эти формулы без мнимой части.

[AKM]

Если Вы знаете, что такое "мнимая часть", то почему бы не раскрыть скобки в первой формуле, после чего выделить и выкинуть мнимую часть? Получится без мнимой части.
А формула Эйлера Вам известна?

[Chifu]

Частотные характеристики это зависимость амлитуды и фазы выходного сигнала от частоты. Чтобы их получить надо из временного представления передаточной функции перейти к частотному представлению, т.е. подставить вместо оператора дифференцирования jw, тогда в комлексной форме получится АФЧХ, а для получения отдельно АЧХ и ФЧХ надо перейти к показательной форме, где хоть и есть j при w, но это уже не мнимая часть, а мнимая часть есть в комплексном представлении.

[Mikle1990]

А я вот вообще почти ничего не понял из того, что вы мне говорите.
Не могли бы вы написать, то что я написал, без мнимой части?

(Оффтоп)

Я такой просьбой, как понимаете, правила форума не нарушаю.

[Mikle1990]

Я в тетради нашёл вот такую запись:
$ x(t)=A_{0}\sin{(wt+\varphi_{0})}$
$y(t)=A_{1}\sin{(wt+\varphi_{1})}$

Ясно, что здесь нет мнимой части. Но посмотрите моё первое сообщение в теме. Является ли это тем ответом, что я ищу?

(Оффтоп)

Пожалуйста, не оставляйте меня 1 на 1 с математикой. Мне завтра зачёт сдавать.

[Mikle1990]

Мне кто-нибудь поможет?

[Chifu]

Mikle1990 в сообщении #487312 писал(а):

Мне кто-нибудь поможет?

Вам учебники никто перепечатывать не будет. Вам задали вопрос в направлении понятий выведенных в заголовок. Вы не не можете понять ни то что сами написали, ни вопроса, ни то что вам пишут, ни оценить то что вам пишут. Поэтому чего вы ждёте? Учите предмет, когда выучите, тогда и будет база для обсуждения.
Мы можем только вопросы вам задавать по написанному вами, например: чем отличается "гармонический сигнал" от "гармонических колебаний". Вы написали про W(s), где оно у вас далее в формулах? Разберитесь что такокое W(s) (передаточная функция) и как от s перейти к w (частоте). Пока вы только пытаетесь изобразить математические записи сигналов (причём в последнем случае всего лишь две синусоиды в зависимости от времени), но по теме вынесенной в заголовок ничего не написали. Вам нужно найти функцию преобразующую амплитуду и фазу сигнала, в зависимости от частоты. Примерно такую характеристику, что рисуют на звуковых колонках.
В моём сообщении выше надо исправить:
Частотные характеристики это ... отношения выходного сигнала к входному сигналу ...

[profrotter]

Chifu в сообщении #487406 писал(а):

Частотные характеристики это ... отношения выходного сигнала к входному сигналу ...

К сожалению это очень грубая ошибка. Если вы составите отношение выходного сигнала к входному, то вы получите нечто зависящее от времени. Это не есть хорошо. Между тем, вводятся следующие частотные характеристики линейной системы с постоянными параметрами:
1. Комплексной частотной характеристикой называется отношение коплексной аплитуды выходного гармонического сигнала к комплексной амплитуде входного гармонического сигнала в стационарном режиме.
2. Амплитудно-частотной характеристикой называется отношение амплитуды выходного гармонического сигнала к амплитуде входного гармонического сигнала в стационарном режиме.
3. Фазочастотной характеристикой называется разность начальных фаз выходного и входного гармонических сигналов в стационарном режиме.

-- Ср сен 28, 2011 22:03:11 --

Mikle1990, если с математикой уже покончено, советую иметь под рукой справочник по математике, например Бронштейн и Семендяев. Там посмотрите, что такое действительная и мнимая части комплексного числа (найти нужные разделы можно пользуясь предметным указателем) и делайте то, что писал АКМ.

[Chifu]

profrotter в сообщении #487440 писал(а):

Chifu в сообщении #487406 писал(а):

Частотные характеристики это ... отношения выходного сигнала к входному сигналу ...

К сожалению это очень грубая ошибка.

Да, я понимаю, я ранее ещё неправильнее написал и мне нужно было указать, что это отношение. Но пускай сам найдёт как правильно. Спасибо, что более точно написали, но у вас тоже не указано, что это функции от частоты, а не от времени, т.е. стационарный режим к чему относится? И если уж операторная передаточная функция W(s) присутствует, то её нужно преобразовывать.

[profrotter]

Chifu в сообщении #487449 писал(а):

Да, я понимаю, я ранее ещё неправильнее написал

Сначала было правильнее:

Chifu в сообщении #486775 писал(а):

Частотные характеристики это зависимость амлитуды и фазы выходного сигнала от частоты

правда, если это слегка дополнить:
Частотные характеристики - это зависимость амлитуды (АЧХ) и начальной фазы (ФЧХ) выходного гармонического сигнала от частоты в стационарном режиме при гармоническом воздействии с единичной амплитудой и нулевой начальной фазой.

Chifu в сообщении #487449 писал(а):

стационарный режим к чему относится?

Речь идёт о стационарном (установившемся) режиме работы линейной системы с постоянными параметрами (ЛСПП) при гармоническом воздействии (гармоническом входном сигнале - как указано в тех определениях, которые я привёл) - это режим в котором характеристики всех процессов в ЛСПП являются гармоническими с частотой воздействия. Например, в случае линейной цепи с постоянными параметрами в стационарном режиме при гармоническом воздействии токи во всех ветвях цепи и напряжения между любыми её узлами будут изменяться по гармоническому закону с частотой воздействия (в том числе могут быть и постоянными). Другой пример: пружинный маятник, к грузику которого приложена внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону - в установившемся режиме координата грузика будет изменяться по гармоническому закону с частотой внешнего воздействия. Неизбежность установления такого стационарного режима в ЛСПП при гармоническом воздействии диктуется принципом транспозиции (инвариантности гармонического воздействия и реакции).

[ewert]

Chifu в сообщении #487449 писал(а):

стационарный режим к чему относится?

Физическая система описывается некоторой системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение такой системы всегда представляет собой комбинацию либо чисто гармонических колебаний, либо затухающих колебаний, либо просто экспоненциальных затуханий. (Математически мыслимы ещё и некоторые растущие решения, но фактически они в отсутствие внешнего воздействия невозможны по чисто физическим причинам -- по закону сохранения энергии.)

Установившийся режим -- это режим на бесконечности, когда все затухающие составляющие уже вымерли и остались только чисто гармонические. Но тут есть один нюанс. Вообще говоря, в установившемся режиме будет присутствовать ровно одна составляющая с частотой, равной частоте внешнего сигнала, плюс, возможно, одна или несколько составляющих с собственными частотами колебаний самой системы. Так вот, последние принято игнорировать и, говоря об установившемся режиме, иметь в виду лишь составляющую решения с частотой внешнего воздействия. Причина: если собственные чисто гармонические (в точном математическом смысле) составляющие решения существуют, то это -- результат некоторой идеализации схемы, в реальной же жизни всегда присутствует хоть и малое, но затухание.

[Chifu]

profrotter писал(а):

Частотные характеристики - это зависимость амлитуды (АЧХ) и начальной фазы (ФЧХ) выходного гармонического сигнала от частоты в стационарном режиме при гармоническом воздействии с единичной амплитудой и нулевой начальной фазой.

Берём отношение и необходимость в единичной амплитуде отпадает, и фаза не важна, необходимо единое для двух сигналов начало отсчёта времени. Ну как-бы линейность подразумевает, что частота выходного сигнала не изменится, поэтому все гармоники на выходе будут присутствовать, ведь мы можем сразу подать сумму всех гармоник сигнала, а не одну. Т.е. ЧХ это отношение спектров входного и выходного сигналов. :)

Цитата:

Речь идёт о стационарном (установившемся) режиме работы линейной системы с постоянными параметрами (ЛСПП) при гармоническом воздействии (гармоническом входном сигнале - как указано в тех определениях, которые я привёл) - это режим в котором характеристики всех процессов в ЛСПП являются гармоническими с частотой воздействия. Например, в случае линейной цепи с постоянными параметрами в стационарном режиме при гармоническом воздействии токи во всех ветвях цепи и напряжения между любыми её узлами будут изменяться по гармоническому закону с частотой воздействия (в том числе могут быть и постоянными). Другой пример: пружинный маятник, к грузику которого приложена внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону - в установившемся режиме координата грузика будет изменяться по гармоническому закону с частотой внешнего воздействия. Неизбежность установления такого стационарного режима в ЛСПП при гармоническом воздействии диктуется принципом транспозиции (инвариантности гармонического воздействия и реакции).

Стационарный режим это когда завершились переходные процессы. Хм, а резонансы, неустойчивости, и статические ошибки?

[profrotter]

Chifu в сообщении #487591 писал(а):

Ну как-бы линейность подразумевает, что частота выходного сигнала не изменится,

Не только линейность! Для линейной системы с переменными параметрами принцип траспозиции в общем случае не выполняется.

-- Чт сен 29, 2011 13:14:15 --

Chifu в сообщении #487591 писал(а):

Стационарный режим это когда завершились переходные процессы.

Дело в том, что переходный процесс - это процесс перехода системы из одного стационарного режима в другой. А у вас наоборот. Не пора ли открыть учебники и посмотреть определения?

[Chifu]

ewert писал(а):

Физическая система описывается некоторой системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение такой системы всегда представляет собой комбинацию либо чисто гармонических колебаний, либо затухающих колебаний, либо просто экспоненциальных затуханий. (Математически мыслимы ещё и некоторые растущие решения, но фактически они в отсутствие внешнего воздействия невозможны по чисто физическим причинам -- по закону сохранения энергии.)

Резонансы, неустойчивости, статические ошибки? На мост ветер подаёт спектр колебаний, мост даёт отклик на частоте собственных колебаний, вплоть до разрушения ...

Цитата:

Установившийся режим -- это режим на бесконечности, когда все затухающие составляющие уже вымерли и остались только чисто гармонические. Но тут есть один нюанс. Вообще говоря, в установившемся режиме будет присутствовать ровно одна составляющая с частотой, равной частоте внешнего сигнала, плюс, возможно, одна или несколько составляющих с собственными частотами колебаний самой системы. Так вот, последние принято игнорировать и, говоря об установившемся режиме, иметь в виду лишь составляющую решения с частотой внешнего воздействия. Причина: если собственные чисто гармонические (в точном математическом смысле) составляющие решения существуют, то это -- результат некоторой идеализации схемы, в реальной же жизни всегда присутствует хоть и малое, но затухание.

Неправильно, важны именно собственные постоянные времени или собственные частоты. Нехорошо это игнорировать в реальной жизни без анализа. Игнорируются те колебания, которые после анализа можно игнорировать, например затухающие колебания около стационарного режима. Неустойчивости же могут быть. Затухание - это вполне определённый параметр, как и постоянная времени, тоже учитывается. Входной периодический сигнал это тоже комбинация гармонических сигналов с разными частотами.

profrotter писал(а):

Не только линейность! Для линейной системы с переменными параметрами принцип траспозиции в общем случае не выполняется

Неправильно, если система линейна, то выполняется, ограничения на стационарность нет.

Цитата:

Дело в том, что переходный процесс - это процесс перехода системы из одного стационарного режима в другой. А у вас наоборот. Не пора ли открыть учебники и посмотреть определени?

Рано, пока без учебника попробую. Время перехода в другой стационарный режим это переходной процесс, после завершения переходного процесса начинается стационарный режим. Где тут наоборот?
Из учебника Р.К. Дорф, Р.Х. Бишоп:
Частотная характеристика определяется как реакция системы в установившемся режиме на синусоидальный входной сигнал при изменении его частоты во всём возможном диапазоне. При этом в линейной системе как входной сигнал, так и сигнал в любой другой точке в установившемся режиме являются синусоидальными; они отличаются от входного сигнала только по амплитуде и фазе.

[epros]

Mikle1990 в сообщении #486839 писал(а):

А я вот вообще почти ничего не понял из того, что вы мне говорите.
Не могли бы вы написать, то что я написал, без мнимой части?

Mikle1990 в сообщении #487312 писал(а):

Мне кто-нибудь поможет?

Сначала ответьте, где у выражения $U_{m}(\cos{wt}+i\sin{wt})$ мнимая, а где действительная часть.