Хотя может быть и Ваше утверждение можно красиво доказать
У меня только громоздкие доказательства. Напишите решение Вашей задачи, если оно короткое.
(Оффтоп)
Вот совсем не изящное решение Вашей задачи, которое получается усилием воли

. Сначала заметим, что

или

. Далее рассмотрим только первый случай (второй рассматривается аналогично). Имеем

. Предположим, от противного, что

. Тогда получим

откуда следует

. Однако при

справедливо противоположное неравенство

, доказать которое можно при помощи производных (вот здесь и потребуются волевые усилия).
Отыскалась задача --- это финал Всероссийской олимпиады 1998/1999 года, 10 класс (
ins-, thank you). Оригинальное решение довольно хитрое, сразу не догадаешься.