неравенство

[Liouville]

Известно что $x^2+y^3\geqslant x^3+y^4$.
Доказать, что $x^3+y^3\leqslant 2$

Помогите Лиувиллю!

[nnosipov]

Liouville в сообщении #486440 писал(а):

Известно что $x^2+y^3\geqslant x^3+y^4$.
Доказать, что $x^3+y^3\leqslant 2$

Неверно при $x=-1$, $y=3/2$. Вот такое утверждение будет верным при любых $x$, $y$: если $x^2+y^5 \geqslant x^3+y^6$, то $x^3+y^3 \leqslant 2$. Или в первоначальном утверждении предположить числа $x$, $y$ неотрицательными, тогда оно станет справедливым.

[Himfizik]

Liouville, укажите каким множествам чисел принадлежат Ваши $x \,\text и \, y$.

[Liouville]

Да, да! Простите, конечно, они положительны.

[Liouville]

Не томите Лиувилля, расскажите уже почему это так!)

[nnosipov]

Не могу вспомнить, где я видел эту задачу. Не из Санкт-Петербургских ли олимпиад будет?

[Liouville]

Происхождение задачи сей не знаю я, быть может и оттуда есть она.

[ins-]

If I'm not wrong it is from All-Russian MO.

[Liouville]

nnosipov в сообщении #486450 писал(а):

Liouville в сообщении #486440 писал(а):

Известно что $x^2+y^3\geqslant x^3+y^4$.
Доказать, что $x^3+y^3\leqslant 2$

Неверно при $x=-1$, $y=3/2$. Вот такое утверждение будет верным при любых $x$, $y$: если $x^2+y^5 \geqslant x^3+y^6$, то $x^3+y^3 \leqslant 2$. Или в первоначальном утверждении предположить числа $x$, $y$ неотрицательными, тогда оно станет справедливым.

Доказал оба утверждения. Ваше - второе - потруднее оказалось, и его доказательство получилось не таким элегантным, как доказательство моей задачи (не даром, видимо, она олимпиадная. Хотя может быть и Ваше утверждение можно красиво доказать). Если захотите, напишу.
J.L.

[nnosipov]

Liouville в сообщении #487052 писал(а):

Хотя может быть и Ваше утверждение можно красиво доказать

У меня только громоздкие доказательства. Напишите решение Вашей задачи, если оно короткое.

(Оффтоп)

Вот совсем не изящное решение Вашей задачи, которое получается усилием воли . Сначала заметим, что $x \leqslant 1$ или $y \leqslant 1$. Далее рассмотрим только первый случай (второй рассматривается аналогично). Имеем $y^4-y^3 \leqslant x^2-x^3$. Предположим, от противного, что $y>(2-x^3)^{1/3}$. Тогда получим

$$ x^2-x^3 \geqslant y^4-y^3>(2-x^3)^{4/3}-(2-x^3), $$

откуда следует $(2-x^3)^{4/3}<2+x^2-2x^3$. Однако при $0 \leqslant x \leqslant 1$ справедливо противоположное неравенство $(2-x^3)^{4/3} \geqslant 2+x^2-2x^3$, доказать которое можно при помощи производных (вот здесь и потребуются волевые усилия).

Отыскалась задача --- это финал Всероссийской олимпиады 1998/1999 года, 10 класс (ins-, thank you). Оригинальное решение довольно хитрое, сразу не догадаешься.

[Liouville]

$x^2-x^3\geqslant{y^4-y^3}$
Заметим, что при $x,y\geqslant{0}$
$2x^3-3x^2+1=(2x+1)(x-1)^2\geqslant{0}$ и
$3y^4-4y^3+1=(3y^2+2y+1)(y-1)^2\geqslant{0}$.
Умножая первое неравенство на 3 и прибавляя к нему эти два, получаем требуемое.

[nnosipov]

Liouville, Вы перещеголяли даже автора этой задачи --- у него более длинное решение. Но в моей формулировке этот фокус уже не проходит?

[Liouville]

При $x,y\geqslant0$ Ваше неравенство следует из этого оценкой $y^6-y^5\geqslant{y^4-y^3}$. При других $x,y$ "реакция не шла" и фокус не удался. Поэтому я тоже употреблял магию "усилие воли", правда удалось обойтись без производных.

[nnosipov]

Liouville в сообщении #487189 писал(а):

При $x,y\geqslant0$ Ваше неравенство следует из этого оценкой $y^6-y^5\geqslant{y^4-y^3}$.

Хм, действительно, не заметил.

[Liouville]

Что-то не могу найти этого всероса, ссылкой не поможете?