отражения и вращения: в чем разница

[ean]

Помогите понять разницу между отражениями и вращениями.
Должна быть какая-то характеристика, которая помогает отличить одно от другого. Насколько я понимаю, чётность нечётность не подходят. Например, для квадрата два вращения:

$$\tau_1 = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \ 4\\ 4 \ 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix}, \tau_2 = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \ 4 \\ 3 \ 4 \ 1 \ 2 \end{pmatrix}$$

$\tau_1$ нечётная перестановка, $\tau_2$ чётная. Под чётностью я подразумеваю $(-1)^k$, где $k$ - количество инверсий в нижней строки.
Понимаю, что эта разница где-то на поверхности:$\begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \ 4\\ 4 \ 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \ 4 \\ 2 \ 1 \ 4 \ 3 \end{pmatrix}$, разница между ними сразу видна, как формализовать не понимаю

[ewert]

ean в сообщении #486566 писал(а):

Помогите понять разницу между поворотам и вращениями

Я бы тоже хотел понять, в чём разница между поворотом и поворотом. Или между вращением и вращением. Ну или хотя бы что понимается под вращением и что под отражением...

[ean]

ewert в сообщении #486567 писал(а):

между поворотом и поворотом.

исправил

-- Пн сен 26, 2011 14:44:54 --

Например, для квадрата под вращением я понимаю вращение квадрата вокруг центра симметрии на $0, \frac{\pi}{2} , \pi, \frac{3\pi}{2}$ против часовой стрелки. Отражения - это симметрии относительно осей, проходящих через центры противоположных сторон (2 отражения), и осей, проходящих через противоположные вершины квадрата.
Если обозначить вершины квадрата как $1, 2, 3, 4$, то $\begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \ 4\\ 4 \ 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix}$ - поворот на $\frac{\pi}{2}$, а $\begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \ 4\\ 1 \ 4 \ 3 \ 2 \end{pmatrix}$ - отражение относительно оси $13$.

[ewert]

Всё-таки объясните чётко: что Вы в точности понимаете под вращениями и что под отражениями. Поскольку речь идёт о перестановках -- эта терминология как минимум нестандартна.

[ean]

ewert в сообщении #486573 писал(а):

Всё-таки объясните чётко

разминулись в 16 секунд

[ИСН]

Степени большого цикла (1234) - это вращения, их наобороты - отражения, а все остальные перестановки вообще не реализуются, пока не распилишь квадрат на куски.

[ewert]

Всё равно не понял, в чём смысл вопроса. "Вращения" -- это, судя по всему, то, что принято называть циклическими перестановками. Ну а "отражения" -- это некоторые перестановки, не являющиеся циклическими, вот и всё. Не знаю, что ещё тут можно содержательного сказать. Ну разве что любое "отражение" можно получить как комбинацию некоторого единственного "отражения" и некоторого "вращения" и, соответственно, что в совокупности они образуют группу, в которой "вращения" -- это подгруппа; но какой в этом глубокий философский смысл и зачем вообще всё это -- не понимаю.

[epros]

ean в сообщении #486570 писал(а):

Например, для квадрата под вращением я понимаю вращение квадрата вокруг центра симметрии на $0, \frac{\pi}{2} , \pi, \frac{3\pi}{2}$ против часовой стрелки. Отражения - это симметрии относительно осей, проходящих через центры противоположных сторон (2 отражения), и осей, проходящих через противоположные вершины квадрата.

Понятно. Стало быть, четыре поворота и четыре отражения.

ean в сообщении #486566 писал(а):

Помогите понять разницу между отражениями и вращениями.
Должна быть какая-то характеристика, которая помогает отличить одно от другого.

Да, есть такая. Постройте матрицу преобразования: 4х4 из нулей и единиц, в каждом столбце и в каждой строке только по одной единице (т.е. всего 4 единицы, остальные 12 - нули). Сравните определители таких матриц для поворотов и для отражений.

Не получается так? Ах, что же делать?

Может матрица преобразования достаточна 2х2? ...

[мат-ламер]

ean в сообщении #486566 писал(а):

Помогите понять разницу между отражениями и вращениями.
Должна быть какая-то характеристика, которая помогает отличить одно от другого. ... разница между ними сразу видна, как формализовать не понимаю

Что такое характеристика? Число (инвариант), алгоритм или что-то другое? Если число, то не факт, что оно существует. Если алгоритм, то он как-бы очевиден.

-- Пн сен 26, 2011 21:32:42 --

epros в сообщении #486603 писал(а):

Может матрица преобразования достаточна 2х2? ...

А что будет для больших $n$? Вращения и отражения - понятно, что это ортогональные матрицы 2x2. Но все перестановки ортогональными матрицами 2x2 не описываются.

[Joker_vD]

Вообще, если брать евклидово пространство и в нем вращать-отражать, то отражение — это вращение-перенос-умножение на что-то вроде $\left(\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}\right)$-перенос назад-вращение обратно. Ну, а вращение — это перенос-умножение на матриц поворота-перенос назад.

[ean]

По большому счёту я хочу разобраться почему композиция вращения и отражения (и наоборот) - это отражение, а композиция двух отражений - это вращение. Для простых случаев типа треугольника, квадрата - можно составить таблицы умножения в группе перестановок (по сути группа движений - это перестановки), а для случаев хотя бы куба - это уже слишком трудоёмко.

[ИСН]

Потому что 1 и -1... Постойте, а Вам обязательно ответ в терминах перестановок? А то ведь его может и не быть.

-- Вт, 2011-09-27, 00:34 --

(обычно-то говорят в терминах преобразований координат, там всё просто - определитель, 1, -1...)

[JMH]

Нигде не было сказано, вращения и отражения чего рассматриваются, наверное правильных многоугольников? А что насчёт размерностей? Например, отражения плоского многоугольника можно рассматривать, как вращения вне плоскости многоугольника... Мне вобще-то кажется, что перестановками имеет смысл определять отображения, скорее, графов, а не геометрических фигур.

[epros]

ean в сообщении #486696 писал(а):

По большому счёту я хочу разобраться почему композиция вращения и отражения (и наоборот) - это отражение, а композиция двух отражений - это вращение. Для простых случаев типа треугольника, квадрата - можно составить таблицы умножения в группе перестановок (по сути группа движений - это перестановки), а для случаев хотя бы куба - это уже слишком трудоёмко.

Потому что вращение сохраняет ориентацию базиса (правую или левую), а то, что Вы называете отражением, - меняет.

[ean]

ИСН в сообщении #486706 писал(а):

Потому что 1 и -1...

epros в сообщении #486759 писал(а):

Потому что вращение сохраняет ориентацию базиса (правую или левую), а то, что Вы называете отражением, - меняет.

Ага, спасибо. А как-нибудь на языке перестановок можно это выразить?

JMH в сообщении #486725 писал(а):

наверное правильных многоугольников

да, извините, имеются в виду правильные многоугольники. пока на плоскости и трёхмерном пространстве, но думаю картина должна оставаться той же в любой размерности