Вспомним критерий представления чисел суммой 3-х квадратов и сразу получим ответ.
Вот этот критерий: натуральное число представимо суммой трёх квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда оно
не представляется в виде

, где

,

--- некоторые неотрицательные целые числа. Утверждение "только тогда" несложно доказать (см. выше сообщение
mihiv), а вот утверждение "тогда" --- нетривиальный факт, впервые доказанный Гауссом.
Заранее извиняюсь за свою непонятливость, но для меня звучит, как ребус...
Если переписать в таком виде:
"натуральное число представимо суммой трёх квадратов целых чисел тогда, когда оно
не представляется в виде

, где

,

--- некоторые неотрицательные целые числа"
то получается, вроде как, необходимо доказать, что числа вида

не могут быть представлены в виде суммы трех квадратов.
На мой взгляд то, что нельзя получить сумму остатков квадратов трех чисел по основанию

, равную

, легко доказать простым перебором остатков:

Или я не о том?