Интеграл

[ewert]

EvilPhysicist в сообщении #486231 писал(а):

мера должна удовлетворять условию $ A \supset B \Rightarrow \mu(A) > \mu(B) $ и тогда при стягивании множества в точку его мера стремится к нулю.

Во-первых, она не "должна" удовлетворять этому условию -- оно является следствием аксиом меры. Во-вторых, стремление к нулю из этого свойства, разумеется, не следует и вовсе не обязательно имеет место. Самое же главное: Вы по-прежнему категорически отказываетесь формализовать понятие "стягивается в точку", и совершенно напрасно.

[EvilPhysicist]

ewert в сообщении #486232 писал(а):

Самое же главное: Вы по-прежнему категорически отказываетесь формализовать понятие "стягивается в точку", и совершенно напрасно.

Будем говорить, что последовательность множеств $ (U_i)_{i=1}^\infty $ стягивается в точку, если $ \cap_{i=1}^\infty U_i $ есть точка.

[ewert]

EvilPhysicist в сообщении #486234 писал(а):

Будем говорить, что последовательность множеств $ (U_i)_{i=1}^\infty $ стягивается в точку, если $ \cap_{i=1}^\infty U_i $ есть точка.

Не пройдёт. Во-первых, в Вашей конструкции интеграла нет бесконечных пересечений. А в-главных: в какую точку стягивается последовательность множеств типа $U_n=(0;\frac1n)\cup[1-\frac1n;1]$?

[EvilPhysicist]

ewert в сообщении #486238 писал(а):

Не пройдёт. Во-первых, в Вашей конструкции интеграла нет бесконечных пересечений.

Ну в итеграле они нам и не нужны.

ewert в сообщении #486238 писал(а):

А в-главных: в какую точку стягивается последовательность множеств типа $U_n=(0;\frac1n)\cup[1-\frac1n;1]$?

В точку {1}.

[ewert]

EvilPhysicist в сообщении #486243 писал(а):

В точку {1}.

Увы. С точки зрения интегрирования -- вовсе не стягивается.

EvilPhysicist в сообщении #486243 писал(а):

Ну в итеграле они нам и не нужны.

Ну так и не вводили бы, раз к интегралу они отношения не имеют.

[EvilPhysicist]

ewert в сообщении #486244 писал(а):

Увы. С точки зрения интегрирования -- вовсе не стягивается.

Чего-то не совсем понял.

ewert в сообщении #486244 писал(а):

Ну так и не вводили бы, раз к интегралу они отношения не имеют.

Ну для определения сходимости множества в точку надо либо вводить топологию, что вы и говорили, либо вводить меру. И называть последовательность множеств $(U_i)_{i=1}^n$ стягивающимися в точку, если $ \lim\limits_{i \to \infty} \mu(U_i) =0 $.

[ewert]

EvilPhysicist в сообщении #486245 писал(а):

И называть последовательность множеств $(U_i)_{i=1}^n$ стягивающимися в точку, если $ \lim\limits_{i \to \infty} \mu(U_i) =0 $.

Это просто неверно ни в ту, ни в другую сторону: из стремления меры к нулю стягивания в точку не следует -- и наоборот, мера стягивающихся в точку множеств вовсе не обязана стремиться к нулю.

EvilPhysicist в сообщении #486245 писал(а):

Ну для определения сходимости множества в точку надо либо вводить топологию,

Только лишь топологии недостаточно -- она не позволяет формализовать понятие измельчения.

[EvilPhysicist]

ewert в сообщении #486249 писал(а):

Это просто неверно ни в ту, ни в другую сторону: из стремления меры к нулю стягивания в точку не следует -- и наоборот, мера стягивающихся в точку множеств вовсе не обязана стремиться к нулю.

Например?

[Dan B-Yallay]

EvilPhysicist в сообщении #486254 писал(а):

ewert в сообщении #486249 писал(а):

Это просто неверно ни в ту, ни в другую сторону: из стремления меры к нулю стягивания в точку не следует -- и наоборот, мера стягивающихся в точку множеств вовсе не обязана стремиться к нулю.

Например?

1) Множество рациональных точек на отрезке [0,1] имеет меру ноль, но точкой не является.
2) Меры бывают с "атомами". ($\delta$ функция Дирака?)

[AD]

Немного добью банальную мысль из своего первого сообщения, хотя она тут уже под разными соусами прозвучала.

Определение. Пусть $[a,b]\subset\mathbb{R}$. Функция $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ называется интегрируемой в смысле EvilPhysicistа-AD, и число $I\in\mathbb{R}$ называется её интегралом в смысле EvilPhysicistа-AD, если для любого $\varepsilon>0$ существует такое $\delta>0$, что для любой конечной системы непересекающихся измеримых по Лебегу множеств $\{\Delta_i\}_{i=1}^n$ таких, что $\bigcup\limits_{i=1}^n\Delta_i=[a,b]$ и $\max\limits_{i=1,\ldots,n}\mu\Delta_i<\delta$ и любой системы точек $\xi_i\in\Delta_i$ имеет место неравенство $\left|I-\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\mu\Delta_i\right|<\varepsilon$.

Теорема. Функция $f(x)=x$ не интегрируема на $[0,1]$ в смысле EvilPhysicistа-AD.

Доказательство теоремы оставляю в качестве несложного упражнения. Несмотря на то, что есть и алгебраическая структура, и метрика, и порядок, и что ни пожелаете, до понятия "интеграл" пока далековато. Соображайте, почему

Еще небольшая наводка вам. Чтобы получать интегралы а-ля интеграл Римана на сколь-нибудь абстрактных пространствах, выделяют допустимые пары $(\Delta,\xi)$ (то есть чтобы $\Delta$ были не всеми измеримыми множествами, а чем-то более диковинным, например, как в случае прямой, отрезками), а потом делают базу фильтра на россыпи всех допустимых пар, и из элементов окончаний базы уже составляют разбиения. Получается достаточно годно, причём само устройство базы тоже можно достаточно сильно разнообразить. Ну это хенстоковские всякие дифференциальные базисы там.

[ewert]

AD в сообщении #486273 писал(а):

Несмотря на то, что есть и алгебраическая структура, и метрика, и порядок, и что ни пожелаете

Метрики нет. В том смысле, что никакая метрика не используется.

[AD]

Ну да, в этом и печаль

[EvilPhysicist]

Хорошо, тогда такой вопрос, какие есть хорошие книшки по теории интеграла вообще и по терии ингтеграла Лебега?

[Dan B-Yallay]

Березанский, Ус, Шефтель. Функциональный анализ.
Кадец. Курс функционального анализа.

[LionKing]

Я могу обобщить интеграл Лебега, но для этого придется строить достаточно сложную теорию. Но так или иначе МОЖНО построить интеграл, который будет принимать значения из некой структуры ( абстрактной структуры ).