Как построить естественную фильтрацию?

[fedornovikov]

Есть интервалы времени T=(0,1,2). В каждом из них происходит с определенной вероятностью движение частицы "вверх", "вниз" и "в сторону" (обозначим соответственно 1, 2, 3). $\Omega$ будет состоять из путей длинны 2: $(ij),i=1..3,j=1..3$. Верно ли, я понимаю что естественная фильтрация такого процесса:

$F_0=\{\varnothing, \Omega\}$
$A_1=\{ (11), (12), (13)\}$
$A_2=\{ (21), (22), (23)\}$
$A_3=\{ (31), (32), (33)\}$
$F_1=\{\varnothing, \Omega, A_1, A_2, A_3\}$
$F_2=2^{\Omega}$

Все бы не плохо, но $F_1$ не похожа на $\sigma$-алгебру. Причем, в биномиальном случае (когда исхода всего два), фильтрацию таким же образом построить получается. Подскажите, что не так. Спасибо!

[PAV]

Почти правильно, только в качестве $F_1$ нужно взять сигма-алгебру, порожденную событиями $A_1,A_2,A_3$.

[fedornovikov]

PAV в сообщении #486067 писал(а):

Почти правильно, только в качестве $F_1$ нужно взять сигма-алгебру, порожденную событиями $A_1,A_2,A_3$.

Ок, но тогда от меня ускользает интуитивный смысл $F_1$. Например, там окажется элемент $A_1^c=\{(21),(22),(23),(31),(32),(33)\}$. Только вот "информационная" нагрузка такого события мне не совсем понятна. Какую информацию оно несет для $F_1$-адаптированного процесса?

[PAV]

Это означает, что на первом интервале произведен шаг 2 или 3. Смысл в том, что про любое событие из сигма-алгебры $F_1$ Вы должны знать, произошло оно или нет, зная только шаг процесса на первом интервале.

[fedornovikov]

PAV в сообщении #486080 писал(а):

Это означает, что на первом интервале произведен шаг 2 или 3. Смысл в том, что про любое событие из сигма-алгебры $F_1$ Вы должны знать, произошло оно или нет, зная только шаг процесса на первом интервале.

Правильно ли я понял, что если, например, я буду искать $E(S_2|F_1)$ (где, S - случайный процесс) то, вклад события $A_1^c$ в это условное мат. ожидание, будет отражать случай, когда мы знаем, что до этого произошел шаг 2 или 3 (но мы не знаем, какой именно)?

[PAV]

Я в этой фразе ничего не понял. Для начала, что такое "вклад события в условное мат. ожидание"?