ряд Фурье

[Albina]

Разложить в ряд Фурье функцию, заданную в промежутке $-\pi<x<\pi$.
$f(x)=2x+3$

Подскажите, пожалуйста, как найти коэффициенты.

$a_0=\frac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\ (2x+3)dx$
Я правильно взяла пределы у интеграла? или нужно $\int\limits_{-\pi}^{\pi} \$

[maxmatem]

надо от $-\pi$ до $\pi$. А теперь берите сам интеграл.

[Albina]

то, что $-\pi$ и $\pi$ не включены в промежуток, это не влияет? и так для каждого коэффициента?

[Dan B-Yallay]

Albina в сообщении #485946 писал(а):

то, что $-\pi$ и $\pi$ не включены в промежуток, это не влияет? и так для каждого коэффициента?

Нет не влияет. Да для каждого. Возможно выявится закономерность.

[ewert]

Dan B-Yallay в сообщении #485947 писал(а):

Возможно выявится закономерность.

Проще не выявлять её, а сразу же разбить функцию на чётное и нечётное слагаемые.

[Albina]

Я попробовала решить с $-\pi$ и $\pi$, но у меня получилось $a_0=6$, $a_n=0$ и $b_n=0$.

[Dan B-Yallay]

Albina в сообщении #486005 писал(а):

Я попробовала решить с $-\pi$ и $\pi$, но у меня получилось $a_0=6$, $a_n=0$ и $b_n=0$.

Так не бывает. Покажите ваши вычисления для $a_n$

[Albina]

$a_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\ (2x+3)\cos nx\,dx$ = $\frac{1}{\pi}(2\int\limits_{-\pi}^{\pi}\ x\cos nx\,dx + 3\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos nx\,dx)$= $\frac{1}{\pi}(2(\frac{x\sin nx}{n}-\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{\sin nx}{n}dx)+ \frac{3\sin nx}{n})$ = $\frac{1}{\pi}(2(\frac{x\sin nx}{n}+\frac{\cos nx}{n^2})+ \frac{3\sin nx}{n})$
Далее я подставила $-\pi $и $\pi$
и там получился ноль

[ИСН]

Это естественно. Ведь функция-то нечётная, если с неё шкуру снять. Вся информация должна быть в $b_n$.

-- Сб, 2011-09-24, 22:27 --

кстати, где-то забыли поделить на 2. Не помню, где именно; там выражение для $a_0$ как-то отличается от остальных. Ну смотрите: 6, а надо 3.

-- Сб, 2011-09-24, 22:30 --

Или оно, наоборот, входит в ряд с весом 1/2? Тогда всё ОК.

[Dan B-Yallay]

Dan B-Yallay в сообщении #486007 писал(а):

Так не бывает. Покажите ваши вычисления для

Не те коэффициенты попросил.

[Albina]

ИСН в сообщении #486104 писал(а):

Или оно, наоборот, входит в ряд с весом 1/2? Тогда всё ОК.

Да, там с 1/2 будет.

ИСН в сообщении #486104 писал(а):

Вся информация должна быть $b_n$ .

я $b_n$ искала таким образом: $b_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\ (2x+3)\sin nx\,dx$ и получился снова 0.
Как его найти правильно?

[ИСН]

Ну, взять и сделать всё то же самое, только правильно. Wolframalpha Вам в помощь.

[ewert]

Albina в сообщении #486191 писал(а):

Как его найти правильно?

Легко: надо просто сосчитать этот интеграл правильно. Как Вы умудрились получить ноль?

(в принципе, я догадываюсь, как -- просто знак при подстановке пределов перепутали)

[Albina]

$b_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\ (2x+3)\sin nx\,dx$ = $\frac{1}{\pi}(2\int\limits_{-\pi}^{\pi}\ x\sin nx\,dx + 3\int\limits_{-\pi}^{\pi}\ \sin nx\,dx)$= $\frac{1}{\pi}(2(\frac{-x\cos nx}{n}-\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{-\cos nx}{n}dx)- \frac{3\cos nx}{n})$ = $\frac{1}{\pi}(2(\frac{-x\cos nx}{n}+\frac{\sin nx}{n^2})- \frac{3\cos nx}{n})$=$\frac{1}{\pi}(2(\frac{-\pi\cos \pi\\n}{n}+\frac{\pi\cos (-\pi\\n)}{n}+\frac{\sin\pi\\n}{n^2}+\frac{\sin\pi\\n}{n^2})- (\frac{3\cos \pi\\n}{n}-\frac{3\cos (-\pi\\ n)}{n}))$ Вот отсюда у меня получился 0.

[Dan B-Yallay]

Так как константы ортогональны синусам и косинусам от $nx$ на интервале $(-\pi, \pi)$ то рассмотрим лишь $\displaystyle 2\int_{-\pi}^{\pi}x \sin nx \ dx $:

$$\begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx \ dx &= \begin{bmatrix} u=x & dv=\sin nx\ dx \\du=dx & v=-\frac {\cos nx }n \end{bmatrix} =\dfrac {-x \cos nx}n \Big|^{\pi}_{-\pi} - \underbrace{\int_{-\pi}^{\pi}\ -\dfrac {\cos nx}{n}dx}_{=0}=\\ &=\dfrac{-\pi \cos n\pi}{n}- \dfrac{-(-\pi)\cos n (-\pi)}{n}=-2\dfrac{\pi \cdot (-1)^n}{n}\ne 0. \end{align*}$$