Поверхностный интеграл 1-го рода и формула Остроградского

[Dext]

Правильно понял??

\[\iint\limits_S(x+y+z)\,dS}= \iiint\limits_{\substack{x^2+y^2\leqslant1,\\0\leqslant z\leqslant1}} \left[\frac{\partial}{\partial x}(x+y+z)+\frac{\partial}{\partial y}(x+y+z)+\frac{\partial}{\partial z}(x+y+z)\right]dxdydz\[

[Утундрий]

Dan B-Yallay в сообщении #485660 писал(а):

Просто он явно это не указывает.

Да.

[Dan B-Yallay]

Dext в сообщении #485662 писал(а):

Правильно понял??

Да. Теперь в цилиндрические координаты и посчитать.

(Оффтоп)

А если приглядеться внимательно - то считать там нечего.

[Утундрий]

Dan B-Yallay в сообщении #485667 писал(а):

Теперь в цилиндрические координаты и посчитать.

Не забыв перед этим взять производные в декартовых

[Dext]

А что делать с нормалью?

Вроде в формуле Остроградского она должна быть внешней.

[Dan B-Yallay]

Какая еще нормаль??
Она нужна была для поверхностного интеграла. Чтобы с ней не возиться мы и использовали ОГ - перевели интеграл в обьёмный.
Тут уже никаких нормалей.

[Утундрий]

Опля! Нормаль-то мы и не приметили

Итак, сызнова. Вообще говоря $\int\limits_V {\nabla fdV = \oint\limits_{\partial V} {{\mathbf{n}}fdS} }$. Поэтому, коль уж у нас под двойным интегралом стоит скаляр, то $f$ должно быть вектором и должно быть скалярно на нормаль помножено. То есть, нужно найти такую $\[ {\mathbf{f}} \] $, чтобы $\[ {\mathbf{f}} \cdot {\mathbf{n}} = x + y + z \] $.

[Dext]

Простите не понял, что делать с нормалью

[Утундрий]

Теперь уже и сам не знаю

[Dext]

Конечно же, спасибо всем за помощь!
Вообще, по условию, не требовалось вычислять именно с помощью формулы Остроградского.

Как можно ещё вычислить этот поверхностный интеграл??

[Утундрий]

В общем, я тут немного посчитал и получилась единичка в ответе. Только способ... эээ... не сильно прост.

[Dan B-Yallay]

Так у Вас интеграл по неориентированной поверхности штоле? Тогда причем тут вообще Остроградский?
Переходим к цилиндрическим координатам. Боковина цилиндра:

$$\int_0^{2\pi} \int_0^1 (1\cdot\cos \phi + 1\cdot \sin \phi + z) \ dz d\phi$$

"Донышки" сами посчитаете или как?

[Dext]

Dan B-Yallay

Что-то Вы, по-моему, не дописали в интеграле?

Так что надо считать как обычный тройной интеграл??

[Утундрий]

Dext, с ответом хоть совпадает?

[Dext]

Dan B-Yallay
Извиняюсь.

Смотрю Вы уже исправили.

-- Пт сен 23, 2011 23:07:59 --

Утундрий в сообщении #485737 писал(а):

Dext, с ответом хоть совпадает?

У меня нет ответа к задаче, а вот у препода есть