Треугольная сетка и круг

[nnosipov]

Нет, эта задача, чтобы развлечься. Как-то придумалась. Вот что позабавило: если взять круг и равновеликий ему правильный треугольник, на обе фигуры наложить эту треугольную сетку, то внутри круга мы увидим треугольников меньше (примерно на 5 процентов), чем внутри треугольника. Ну хоть в чём-то круг хуже треугольника.

[venco]

nnosipov в сообщении #485555 писал(а):

Нет, эта задача, чтобы развлечься. Как-то придумалась. Вот что позабавило: если взять круг и равновеликий ему правильный треугольник, на обе фигуры наложить эту треугольную сетку, то внутри круга мы увидим треугольников меньше (примерно на 5 процентов), чем внутри треугольника. Ну хоть в чём-то круг хуже треугольника.

Т.к. считаем треугольники, то не удивительно, что треугольная граница оптимальнее.
А форма сетки, я думаю, и вовсе не важна.

А как вам такое усложнение: посчитать все правильные треугольники, а не только со сторонами вдоль осей сетки. Тут опять может $\pi$ вылезти.

[nnosipov]

venco в сообщении #485560 писал(а):

Т.к. считаем треугольники, то не удивительно, что треугольная граница оптимальнее.

Да, разумеется, но любопытно было узнать насколько.

venco в сообщении #485560 писал(а):

А форма сетки, я думаю, и вовсе не важна.

Надо обдумать.

venco в сообщении #485560 писал(а):

А как вам такое усложнение: посчитать все правильные треугольники, а не только со сторонами вдоль осей сетки. Тут опять может $\pi$ вылезти.

Это интересно. Но я не могу эту штуку сосчитать даже для 6-угольника (была здесь такая тема где-то полгода назад). Хотя в общем случае может и проще будет. Но задача интересная.

[nnosipov]

Приведу пару своих формул. Искомая константа равна

$$ \tau=\frac{4}{3}\iint\limits_K b_K(x,y)\,dxdy, $$

где в полярных координатах $x=r\cos{\phi}$, $y=r\sin{\phi}$ и в первой четверти $0 \leqslant \phi \leqslant 90^\circ$ имеем

$$ b_K(x,y)=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(-r\cos{\phi}+\sqrt{1-r^2\sin^2{(\phi-60^\circ)}}+\sqrt{1-r^2\sin^2{(\phi+60^\circ)}}\right); $$

при остальных $\phi$ можно воспользоваться симметрией. Вычисляя, находим $\tau=8/\sqrt{3}$.