Бесконечное пересечение множеств

[wolf.ram]

Пусть $A_n = \{x \in \mathbb{N} | x > n\}$, $n$ тоже натурально.
Чему будет равно $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$?

Разъясню смысл вопроса: дело не в том, что я не могу догадаться, какой ответ. Нет, я предполагаю, что я правильно отвечаю на этот вопрос. Хочу проверить правильность своего предположения. Если оно правильно, то тогда начну переходить к проблеме, в которой я пока не могу разобраться. Это кагбэ вступление.

[Dan B-Yallay]

Ну так давайте выкладывайте свое предположение, а местный консилиум решит, верно оно или нет.

[wolf.ram]

Да пожалуйста
$\varnothing$

[LaTeXScience]

wolf.ram в сообщении #485377 писал(а):

Пусть $A_n = \{x \in \mathbb{N} | x > n\}$, $n$ тоже натурально.
Чему будет равно $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$?

$ A_{n+1} \cap A_n=A_{n+1}$. Значит $\bigcap_{n=1}^m A_n=A_m$. Дальше очевидно.

[Joker_vD]

Верно. Ну и докажите, тут сложного ничего нет: если $x \in \mathbb N$ принадлежит этому пересечению, то он принадлежит и всем $A_n$, в частности, и $A_{?}$, чего быть не может. Догадайтесь сами, что на месте вопроса

[Dan B-Yallay]

wolf.ram в сообщении #485381 писал(а):

Да пожалуйста
$\varnothing$

Теперь можно переходить к основной проблеме?

[LaTeXScience]

Еще так можно доказать. $\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n=\overline {\bigcup_{n=1}^{\infty} \overline{A_n}}$=\mathbb{N} \setminus \mathbb{N}

[wolf.ram]

Тогда или я туплю, или определение базы в $\mathbb{R}$ при $x \to \infty$ как множество таких окрестностей $U = \{ x \in \mathbb{R} | \delta < |x| \}, \delta \in \mathbb{R}$ неверно, т.к. не удовлетворяет требованиям к базе. Ведь можем же мы, как в предыдущем вопросе, пересечь все множества базы и получим пустое множество, которое не может входить в базу, а любое пересечение элементов базы должно содержать в себе элемент базы.
Где я не прав?

[LaTeXScience]

wolf.ram
Какая на фиг база? Вы о чем? База топологии имеется в виду или что?

[_hum_]

Может, дело в том, что вы рассматриваете обычную, а не расширенную прямую, в которой добавлены точки $-\infty, +\infty$.

[JMH]

Какое определение базы Вы используете? Вот пример:

Базой топологии, определённой на $X$ называется семейство подмножеств (называемых элементами базы) $X$ таких, что:
1) Для каждого $x\in X$ существует по меньшей мере один элемент базы $B$, содержащий $x$.
2) Если $x$ принадлежит пересечению двух элементов базы $B_1$ и $B_2$, то существует элемент базы $B_3$, содержащий $x$, такой, что $B_3\in B_1\cap B_2$.

Где Вы видите противоречие или необходимость пересекать счётное колличество элементов базы?

[wolf.ram]

Совокупность $\mathcal{B}$ подмножеств $B \subset X$ множества $X$ будем называть базой в множестве X, если выполнены два условия:
1) $\forall B \in \mathcal{B} \ (B \neq \varnothing)$
2) $\forall B_1 \in \mathcal{B}\ \forall B_2 \in \mathcal{B}\ \exists B \in \mathcal{B}\ (B \subset B_1 \cap B_2)$

Если мы возьмём базу в окрестности бесконечности (плюс или минус) по определению и, пользуясь п. 2 пересечём все её множества, не получим ли мы пустое, не принадлежащее базе по п. 1 но должное принадлежать по п. 2?

[Joker_vD]

wolf.ram в сообщении #485407 писал(а):

пользуясь п. 2 пересечём все её множества

Как — все? Там только два их. В крайнем случае, вы можете пересечь любое конечное число, но не больше.

[wolf.ram]

Joker_vD в сообщении #485408 писал(а):

wolf.ram в сообщении #485407 писал(а):

пользуясь п. 2 пересечём все её множества

Как — все? Там только два их. В крайнем случае, вы можете пересечь любое конечное число, но не больше.

Там сказано, что для любых двух. Раз для любых, почему не для всех?

А почему конечное могу, а больше — не могу? :)

[Joker_vD]

wolf.ram в сообщении #485413 писал(а):

А почему конечное могу, а больше — не могу? :)

Возьмите открытые множества вида $(0;a) \subset \mathbb R$ для всех $a > 1$. Если вы их все пересечете, то получите $(0;1]$ — множество, не являющееся открытым. Хотя пересечение конечного числа открытых множеств — открытое множество.