Использование обобщенных функций для разделения переменных

[shwedka]

evgeniy в сообщении #485185 писал(а):

Нужно использовать метод разделения переменных и решение имеет вид
$U_{\alpha,\beta}(\theta,\varphi)=\exp[i\alpha(\ln\tg\theta/2-\cos\theta)+\beta \varphi (\sin^2\theta+1)]$

Подставьте в уравнение и увидите, что это не решение уравнения Лапласа на сфере или чего-то похожего. От дифференцирования второго члена по
$\theta$ полезет много - много мусора.

evgeniy в сообщении #485185 писал(а):

далее идет сложный метод построения зависимости от радиуса

Не нужно! Вы еще не разобрались со сферой.

evgeniy в сообщении #485185 писал(а):

мой метод позволяет упростить выражение для Лапласиана, сведя его почти к декартовым координатам.

Ничего не позволяет! понятие почти декартовы координаты не опрееделено.

[evgeniy]

Если представить эту функцию в виде $\exp(i\alpha \psi+i\beta \tau)$ и подставить в преобразованное уравнение, записанное относительно $\psi,\tau$, то в координатах $\psi,\tau$ реализуется разделение переменных и получится решение. При этом, когда будем брать частную производную по $\psi$, величина $\tau$ фиксированна. Это не соответствует частным производным по величинам $\theta,\varphi$, при вычислении которых фиксируется другая величина. ПРичина отличия в том, что это преобразование не для всех функций, подставляемых в уравнение Лапласа. Если бы это преобразование существовало для всех функций, то при любом виде представления решения был бы один результат.
Я не совсем точно выразился, свести к формально декартовым координатам.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #485248 писал(а):

и подставить в преобразованное уравнение, записанное относительно $\psi,\tau$, то в координатах $\psi,\tau$ реализуется разделение переменных и получится решение.

Неправда. Не получится.Вы это просто так, на авось пишете, а на самом деле и не записывали ни разу 'преобразованное уравнение и ничего не подставляли.

Вы опять хотите нарушить закон природы. Если функция не является решением ду в одних переменных, то она не станет решением после замены.
Кому это у нас законы не писаны?

evgeniy в сообщении #485248 писал(а):

то в координатах $\psi,\tau$ реализуется разделение переменны

'Не реализуется.

[evgeniy]

Вы пишите не обоснованные вещи, а из соображений общей невозможности получения решения и не замечаете простых соотношений. Уравнение Лапласа приводится к виду
$\frac{\partial^2 U}{\partial \psi^2}+\frac{\partial^2 U}{\partial \tau^2}+(\alpha^2+\beta^2)U=0\eqno(1)$
Тогда в координатах $\psi,\tau$ переменные разделяются. НЕ понимаю, как этого можно не заметить.
Приходится мне самому искать причину неправильности моих уравнений. А заключается она в том, что из уравнения в сферических координатах следует уравнение (1), а наоборот не следует, так как уравнения в сферических координатах справедливо для подстановки любой функции, а уравнения (1) только для подстановки функции специального вида.
Т.е. получается, что решения (1) могут не являться решением уравнения в сферических координатах, а наоборот справедливо. Хорошо хоть выяснили истину.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #485299 писал(а):

Уравнение Лапласа приводится к виду

Неправда. К этому виду не приводится. Проведите все вычисления подробно и увидите.

Цитата:

Тогда в координатах $\psi,\tau$ переменные разделяются.

Не разделяются. Проведите все вычисления подробно и увидите.

Подставьте в уравнение и увидите, что это не решение уравнения Лапласа на сфере или чего-то похожего.

[evgeniy]

evgeniy в сообщении #481970 писал(а):

итого получаем уравнение в частных производных
$\frac{\partial^2 Z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 Z}{\partial y^2}+(\alpha^2+\beta^2)Z=0$

Это уравнение получено и повторно выкладки я производить не буду. ПЕрвый член описан подробно в этом же сообщении, а второй член вычислен после этого по вашей просьбе. Но дело в том, что уравнение в сферической системе координат не тождественно приведенному уравнению. В этом то и заключается ошибка. а то что в приведенном уравнении переменные разделяются это очевидно.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #485556 писал(а):

Это уравнение получено и повторно выкладки я производить не буду.

Неправда. Вы даже не написали, какую замену переменных Вы делаете. Выкладки замены переменной вы не проводили ни разу. вы только писали неверные утверждения, что какая-то функция удовлетворяет сферическому уравнению Лапласа.

evgeniy в сообщении #485556 писал(а):

Но дело в том, что уравнение в сферической системе координат не тождественно приведенному уравнению.

Противоречите себе. Либо проводится замена переменных,
тогда тождественно, либо не проводится, тогда о чем вообще речь?

[evgeniy]

Как с ВАми тяжело общаться. Я вывел уравнение из первого члена уравнения Лапласа в сферических координатах
$\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}+\alpha^2U=0\eqno(1)$
это в можете почитать в моих сообщениях и повторять их я не буду. далее Вы сказали, чтобы я привел выкладки для второго члена уравнения в сферических координатах, так как Вы сомневаетесь, правильно ли я считаю частную производную. Я привел выкладки, Вы на это ничего не сказали. значит аналогичная формула справедлива и для второго члена уравнения в частных производных. Теперь Вы опять требуете какие-то выкладки. Смотрите как выведено уравнение (1) для первого члена, аналогичные выкладки и для второго члена.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #485603 писал(а):

Как с ВАми тяжело общаться. Я вывел уравнение
$\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}+\alpha^2U=0\eqno(1)$
это в можете почитать в моих сообщениях и повторять их я не буду. далее Вы сказали, чтобы я привел выкладки для второго члена уравнения в сферических координатах, так как Вы сомневаетесь, правильно ли я считаю частную производную. Я привел выкладки, Вы на это ничего не сказали. значит аналогичная формула справедлива и для второго члена уравнения в частных производных. Теперь Вы опять требуете какие-то выкладки. Смотрите как выведено уравнение (1) для первого члена, аналогичные выкладки и для второго члена.

У ВАс появилось четыре новых переменных, $x,y,\psi, \tau$, а нужно две.

С помощью одной пары Вы преобразуете один член, с помощью другой- другой член. В этом и жульничество.

Выберите ОДНУ пару новых переменных, напишите какую, сделайте по-честному замену. Увидите, что не получится.

С самого начала, Ваше заявление

Хочу показать, что существуют простые формулы, нарушающие теорему Гаусса о инвариантности кривизны.

свидетельствует об ошибках в дальнейшем тексте.

Повторяю. Напишите Вашу замену переменных!

[evgeniy]

Замена переменных на самом деле такая $x=\ln\tg\theta/2-\cos\theta=z+\psi,y=\varphi (\sin^2\theta+1)=\tau+\varphi$, кроме того используются переменные $\psi=-\cos\theta,\tau=\varphi \sin^2\theta,z=\ln\tg\theta/2$, извиняюсь за не совпадающие в разных сообщениях обозначения.

-- Сб сен 24, 2011 14:41:45 --

Фраза

shwedka в сообщении #485608 писал(а):

Хочу показать, что существуют простые формулы, нарушающие теорему Гаусса о инвариантности кривизны.

сказана когда у меня существовало мнение, что полученное уравнения в частных производных и уравнение в сферических координатах я считал эквивалентными. К сожалению это не так. Тут надо сказать, что это не shwedka писала, а она меня цитировала. Но то что у любой теоремы есть исключающие ее варианты я уверен и до сих пор. При изменении одного из условий теоремы, получается другая теорема. Например рассмотрение теоремы в пространстве обобщенных функций. Тогда теорема Гаусса не справедлива, так как подразумевает непрерывную поверхность, а для координат заданных обобщенными функциями, непрерывная поверхность превращается в изрезанную. вы скажете. что это другая задача, рассмотрение другой поверхности, а я скажу, что это использование обобщенных функций.

[shwedka]

Цитата:

Замена переменных на самом деле такая $x=\ln\tg\theta/2-\cos\theta=z+\psi,y=\varphi (\sin^2\theta+1)=\tau+\varphi$, кроме того используются переменные $\psi=-\cos\theta,\tau=\varphi \sin^2\theta,z=\ln\tg\theta/2$, извиняюсь за не совпадающие в разных сообщениях обозначения.

Эта замена переменных не приводит к тому разделению переменных, о котором Вы упопрно пишете.

evgeniy в сообщении #485876 писал(а):

полученное уравнения в частных производных и уравнение в сферических координатах я считал эквивалентными.

А теперь-нет.
Значит, вопрос закрыт. Более обсуждать по этому поводу нечего.

evgeniy в сообщении #485876 писал(а):

Но то что у любой теоремы есть исключающие ее варианты я уверен и до сих пор.

До крайности дилетантский подход. Грубая ошибка.


В очередной раз напоминаю, кому закон не писан.

-- Сб сен 24, 2011 15:23:47 --

evgeniy в сообщении #485876 писал(а):

Тогда теорема Гаусса не справедлива, так как подразумевает непрерывную поверхность, а для координат заданных обобщенными функциями, непрерывная поверхность превращается в изрезанную. вы скажете. что это другая задача, рассмотрение другой поверхности, а я скажу, что это использование обобщенных функций.

Когда Вы такое скажете, я Вам предложу сначала разработать теорию такихх 'поверхностей', а только потом начинать что-то о них утверждать. А пока -- пустая болтовня. координаты, заданные обобщенными функциями- бессмысленное словосочетание.

[evgeniy]

По поводу Вашей пословицы, хочу напомнить, что кричит попугай на многократные к нему обращения.
Вы абсолютно не читаете мои сообщения. я давно признал. уравнение в сферических координатах и мое не эквивалентны. Но при этом в моем уравнении переменные разделяются, хотя это слабое утешение.
А насчет обобщенных функций. это только пример, когда изменение условий теоремы приводит к новой теореме. При этом в примере никаких построений производить не надо.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #486185 писал(а):

изменение условий теоремы приводит к новой теореме

Конечно, это так. Известно с тех пор, как появилась вторая теорема.