2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти матричное отображение
Сообщение20.09.2011, 21:26 


25/08/05
645
Україна
1. Нужно найти какое-нибудь отображение $f:\mathbb{M}_n \to \mathbb{M}_n $ которое перестановочно с операцией сопряжения
$ f\left(C A C^{-1}\right)=C f(A) C^{-1}$.
или
2. Найти отображение $f:\mathbb{M}_n \to \mathbb{M}_n $ которое перестановочно с операцией сопряжения коммутатора матриц
$ f\left(C [A,B] C^{-1}\right)=C f([A,B]) C^{-1}$.

Здесь $\mathbb{M}_n$ множество квадратных матриц размера $n \times n.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матричное отображение
Сообщение21.09.2011, 16:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
Любой многочлен или более общо - любая скалярная функция (равенство есть при условии определённости на спектре). Или интересует что-нибудь отличное?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матричное отображение
Сообщение21.09.2011, 19:09 


25/08/05
645
Україна
Спасибо. За многогочлен понятно. Хотелось чего-то более екзотичекого - комбинацию транспонирования, взятия обратного, каких-то нестандартных матричных операций и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матричное отображение
Сообщение21.09.2011, 19:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Взятие обратного тоже годится. А нестандартных не надо, не надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матричное отображение
Сообщение21.09.2011, 19:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
Обращение - это скалярная функция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матричное отображение
Сообщение22.09.2011, 08:29 


25/08/05
645
Україна
А если несколько конкретизировать задачу?
Предположим что $A$ - нильпотентная матрица, $J$ - антидиагональная матрица с единицами на побочной диагонали и пусть $B=J A J.$ Выполним сопряжение матриц $A$ и $B$ при помощи какой нибудь невырожденой матрицы $C$ $A'=C A C^{-1}, B'=C B C^{-1}.$

Вопрос. Найти матрицу $B'$ при условии что известны матрицы $A, A', J$ а матрица $C$ неизвестна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матричное отображение
Сообщение22.09.2011, 14:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
Думаю, что однозначного ответа не будет.

-- Чт сен 22, 2011 18:30:10 --

Да, не будет.
Пусть $A=\begin{pmatrix}0&2\\ 0&0 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}\alpha&\beta-2\alpha\\ \alpha&\beta \end{pmatrix}$.
Тогда при любых $\alpha\ne 0, \beta $ получим $A_1=\begin{pmatrix}-1&1\\ -1&1 \end{pmatrix}$

(Оффтоп)

Не поднимается рука матрицу штриховать - для меня это транспонирование. Не люблю я этот $\top$

В то же время $B=\begin{pmatrix}0&0\\ 2&0 \end{pmatrix}$, а матрица $B_1=CBC^{-1}$ будет существенно зависеть от параметров $\alpha, \beta $.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матричное отображение
Сообщение22.09.2011, 15:07 


25/08/05
645
Україна
да, однозначного ответа не будет - такие матрицы $B_1$ образуют векторное пространство. Но, нам однозначность не нужна, нужно хотя бы какое-нибудь алгоритмически понятное решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матричное отображение
Сообщение22.09.2011, 16:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
Ну, векторного пространства они не образуют - ну хотя бы потому, что среди них нуля нету, если $A$ ненулевая. А описать алгоритмически можно - я по нему и действовал:
Стартуя с двух подобных матриц $A$ и $A_1$ составляем ОСЛУ $A_1X-XA=0$, находим ФСР и общее решение - получаем подпространство $V$ в пространстве матриц. Однако не все нам годятся, а только обратимые. Каждому невырожденному решению $X$ этой ОСЛУ сопоставляем матрицу $B_X=XJAJX^{-1}$ и получаем полное описание всех этих $B_1$. Если требуется абы какое $B_1$, то берём абы какую невырожденную матрицу, удовлетворяющую ОСЛУ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матричное отображение
Сообщение22.09.2011, 17:00 


25/08/05
645
Україна
да, там не векторное пространство а линейное многообразие..
Метод понятный, но он предусматривает трудоемкий етап - решение указанной ОСЛУ. Мне же хочется как-то обойти етот шаг используя то ли специфику матрицы $J$ то ли еще что то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матричное отображение
Сообщение22.09.2011, 18:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
Такой вопрос в голове пролётом был. Сомнительно, чтобы стоило над ним долго мучиться, потому как вряд ли.

-- Чт сен 22, 2011 22:16:33 --

Нет, и не многообразие - у них же определитель фиксирован.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матричное отображение
Сообщение23.09.2011, 14:51 


25/08/05
645
Україна
Цитата:
Такой вопрос в голове пролётом был. Сомнительно, чтобы стоило над ним долго мучиться, потому как вряд ли.


Очень жаль :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group