Найти матричное отображение

[Leox]

1. Нужно найти какое-нибудь отображение $f:\mathbb{M}_n \to \mathbb{M}_n $ которое перестановочно с операцией сопряжения
$ f\left(C A C^{-1}\right)=C f(A) C^{-1}$.
или
2. Найти отображение $f:\mathbb{M}_n \to \mathbb{M}_n $ которое перестановочно с операцией сопряжения коммутатора матриц
$ f\left(C [A,B] C^{-1}\right)=C f([A,B]) C^{-1}$.

Здесь $\mathbb{M}_n$ множество квадратных матриц размера $n \times n.$

[bot]

Любой многочлен или более общо - любая скалярная функция (равенство есть при условии определённости на спектре). Или интересует что-нибудь отличное?

[Leox]

Спасибо. За многогочлен понятно. Хотелось чего-то более екзотичекого - комбинацию транспонирования, взятия обратного, каких-то нестандартных матричных операций и т.д.

[ИСН]

Взятие обратного тоже годится. А нестандартных не надо, не надо.

[bot]

Обращение - это скалярная функция.

[Leox]

А если несколько конкретизировать задачу?
Предположим что $A$ - нильпотентная матрица, $J$ - антидиагональная матрица с единицами на побочной диагонали и пусть $B=J A J.$ Выполним сопряжение матриц $A$ и $B$ при помощи какой нибудь невырожденой матрицы $C$ $A'=C A C^{-1}, B'=C B C^{-1}.$

Вопрос. Найти матрицу $B'$ при условии что известны матрицы $A, A', J$ а матрица $C$ неизвестна.

[bot]

Думаю, что однозначного ответа не будет.

-- Чт сен 22, 2011 18:30:10 --

Да, не будет.
Пусть $A=\begin{pmatrix}0&2\\ 0&0 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}\alpha&\beta-2\alpha\\ \alpha&\beta \end{pmatrix}$.
Тогда при любых $\alpha\ne 0, \beta $ получим $A_1=\begin{pmatrix}-1&1\\ -1&1 \end{pmatrix}$

(Оффтоп)

Не поднимается рука матрицу штриховать - для меня это транспонирование. Не люблю я этот $\top$

В то же время $B=\begin{pmatrix}0&0\\ 2&0 \end{pmatrix}$, а матрица $B_1=CBC^{-1}$ будет существенно зависеть от параметров $\alpha, \beta $.

[Leox]

да, однозначного ответа не будет - такие матрицы $B_1$ образуют векторное пространство. Но, нам однозначность не нужна, нужно хотя бы какое-нибудь алгоритмически понятное решение.

[bot]

Ну, векторного пространства они не образуют - ну хотя бы потому, что среди них нуля нету, если $A$ ненулевая. А описать алгоритмически можно - я по нему и действовал:
Стартуя с двух подобных матриц $A$ и $A_1$ составляем ОСЛУ $A_1X-XA=0$, находим ФСР и общее решение - получаем подпространство $V$ в пространстве матриц. Однако не все нам годятся, а только обратимые. Каждому невырожденному решению $X$ этой ОСЛУ сопоставляем матрицу $B_X=XJAJX^{-1}$ и получаем полное описание всех этих $B_1$. Если требуется абы какое $B_1$, то берём абы какую невырожденную матрицу, удовлетворяющую ОСЛУ.

[Leox]

да, там не векторное пространство а линейное многообразие..
Метод понятный, но он предусматривает трудоемкий етап - решение указанной ОСЛУ. Мне же хочется как-то обойти етот шаг используя то ли специфику матрицы $J$ то ли еще что то.

[bot]

Такой вопрос в голове пролётом был. Сомнительно, чтобы стоило над ним долго мучиться, потому как вряд ли.

-- Чт сен 22, 2011 22:16:33 --

Нет, и не многообразие - у них же определитель фиксирован.

[Leox]

Цитата:

Такой вопрос в голове пролётом был. Сомнительно, чтобы стоило над ним долго мучиться, потому как вряд ли.

Очень жаль :)