Решение уравнения Пфаффа вдоль заданной кривой.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #484772 писал(а):

Уравнение (2) имеет вид вдоль кривой
$\frac{dU}{dt}=A_1[x_1(t),x_2(t)]\frac{dx_1(t)}{dt}+A_2[x_1(t),x_2(t)]\frac{dx_2(t)}{dt}$

Прекрасно, но решение этого уравнения не будет решением уравнения Пфаффа.
Ваше обычное жульничество: заменявете полный дифференциал каким-то суррогатом.

[evgeniy]

Да, вы правы, так как в результате интегрирования по t получится зависимость от одной переменной t, частную производную по $x_l,l=1,2$ взять невозможно, так как имеются связанные значения $x_l(t),l=1,2$ . А выкладки я проделал правильные. только вместо $x_l,l=1,2$ надо использовать $x_l(t),l=1,2$ в начальной и конечной точке одного шага интегрирования. Поэтому меняю алгоритм и решаем дифференциальное уравнение до точки $x_1^0,x_2^0$, а дальше надо воспользоваться локальным решением уравнения Пфаффа в этой произвольной точке.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #484886 писал(а):

Поэтому меняю алгоритм и решаем дифференциальное уравнение до точки $x_1^0,x_2^0$, а дальше надо воспользоваться локальным решением уравнения Пфаффа в этой произвольной точке.

Полная бессмыслица. Размахивание руками!! Можете объяснить, что Вы строите? Что получается?
Или попробуйте показать на примере
$dU(x_1,x_2)=dx_1+x_1dx_2$

Какое $U$ получается? Подставьте в уравнение и убедитесь, что получилось не решение!

[evgeniy]

Вы торопитесь с выводами, наклеивая ярлыки. В результате решения дифференциального уравнения получим в точке $x_0,y_0$ значение решения $U(x_0,y_0)$. В этой точке строим локальное решение по формуле
$U(x,y)=U(x_0,y_0)+x-x_0+x_0(y-y_0)+0(x-x_0)^2+0(y-y_0)^2$
в точке $x_0,y_0$ эта функция определяет локальное решение.
При дифференцировании по x,y и переходя к пределу в точке. где рассматривается решение получим решение задачи Пфаффа в произвольной точке $x_0,y_0$.

[shwedka]

Это я поняла. Для любой точки $x_0,y_0$. Вы можете построить функцию,
$U_{x_0,y_0}(x,y)$, которая в ЭТОЙ ТОЧКЕ удовлетворяет уравнению. Не спорю.

Вы утверждаете, что 'решения,' построенные для разных точек совпадают?
То есть $U_{x_0,y_0}(x,y)=U_{x_1,y_1}(x,y)$
Доказывайте!
А если не можете, то объясните, как из решений вида $U_{x_0,y_0}(x,y)$ Вы склеиваете функцию, являющуюся решением не только в одной точке, но и на множестве пошире.

[evgeniy]

Укажу Вам на больший недостаток такого решения. Если путь к точке $x_0,y_0$ отличается, то и решение в этой точке будет другим. Т.е. решение уравнения Пфаффа зависит от пути интегрирования. Я только говорю, что если задан путь интегрирования, то решение в точке $x_0,y_0$ будет таким. Это формула для решения в точке $x_0,y_0$.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #485182 писал(а):

то решение в точке $x_0,y_0$ будет таким. Это формула для решения в точке $x_0,y_0$.

Понятие решения в точке не определено.

evgeniy в сообщении #485182 писал(а):

решение уравнения Пфаффа зависит от пути интегрирования.

Вы по-прежнему пишете о решении как о существующем. В неинтегрируемом случае решения нет, поэтому говорить, что несуществующее решение от чего-то зависит, бессмыслица.

[evgeniy]

Дело в том, что имеется формула определяющая значение потенциала в точке $x=x_0,y=y_0$ и удовлетворяющая уравнению Пфаффа, но значение этой формулы зависит от пути интегрирования. но для получения решения надо сначала продифференцировать потенциал по $x,y$, а потм положить $x=x_0,y=y_0$. КАк его называть, это вопрос терминологии, я его называю, может быть условно, решением уравнения Пфаффа. Сформулируйте, как его называете Вы.
Мне кажется, что эта формула имеет вычислительные приложения, для получения решения уравнения Пфаффа вдоль заданной траектории в неинтегрируемом случае. Ради вычислительных приложений я и городил весь этот огород. Соблазн интегрировать вдоль траектории, как мне кажется был у многих, я просто попытался его обосновать с помощью локального решения.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #485240 писал(а):

Мне кажется, что эта формула имеет вычислительные приложения, для получения решения уравнения Пфаффа вдоль заданной траектории в неинтегрируемом случае

Понятие решения уравнения вдоль траектории не определено. Поэтому все написанное Вами смысла не имеет. Дайте определение, тогда будет что обсуждать.

Предлагаю такое определение. Решение вдоь кривой это функция, заданная в окрестности кривой и удовлетворяющая в точках кривой уравнению.
Если Вас такое определение устраивает, то предъявите доказательтво того, что построенная Вами функция, действительно, удовлетворяетр уравнению в точках кривой. Если определение не устраивает, дайте свое.

evgeniy в сообщении #485240 писал(а):

КАк его называть, это вопрос терминологии, я его называю, может быть условно, решением уравнения Пфаффа

Нет, это не вопрос терминологии. Вы хотите называыь рершением то, что решением не является. Это жульничество.

[evgeniy]

Определение устраивает, только что доказывать я не знаю. То что в точке $x=x_0,y=y_0$ построенная функция удовлетворяет уравнению я уже доказывал. Надо продифференцировать по $x,y$ и положить условие $x=x_0,y=y_0$. ТОгда заданная функция удовлетворяет уравнению Пфаффа в точке $x_0,y_0$. По другому к сожалению доказать невозможно.

[evgeniy]

Предлагаю несколько отличающееся определение.
Решением вдоль кривой уравнения Пфаффа называется функция удовлетворяющая в точке $x_0,y_0$ значению потенциала уравнения Пфаффа с точностью $0(x-x_0)^2+0(y-y_0)^2+0[(x-x_0)(y-y_0)]$.
Это определение позволяет определить решение без обязательного условия $x=x_0,y=y_0$, а просто дифференцировать по аргументу.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #485352 писал(а):

Предлагаю несколько отличающееся определение.
Решением вдоль кривой уравнения Пфаффа называется функция удовлетворяющая в точке $x_0,y_0$ значению потенциала уравнения Пфаффа с точностью $0(x-x_0)^2+0(y-y_0)^2+0[(x-x_0)(y-y_0)]$.
Это определение позволяет определить решение без обязательного условия $x=x_0,y=y_0$, а просто дифференцировать по аргументу.

Как определять -- ваше дело,
но в определение не входит кривая.
слова

Цитата:

функция удовлетворяющая в точке $x_0,y_0$ значению потенциала уравнения Пфаффа

смысла не имеют. Удовлетворять значению-- противно как математике, так и русскому языку.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #485304 писал(а):

только что доказывать я не знаю.

Начать и кончить. Изложить построение потенциала в окрестности кривой. Доказать, что построенная функция во всех точках кривой удовлетворяет уравнению.

[evgeniy]

Решается уравнение Пфаффа
$dU=A_x(x,y)dx+B_y(x,y)dy$
вдоль кривой линии x=x(t),y=y(t).
Решением вдоль кривой в окрестности точки $x_0,y_0$, называется функция, определяющая значение потенциала в окрестности точки $x_0,y_0$ с точностью $0(x-x_0)^2+0(y-y_0)^2+0[(x-x_0)(y-y_0)]$.
Для построения решения вдоль кривой линии надо решить обыкновенное дифференциальное уравнение при заданной зависимости x=x(t),y=y(t)
$\frac{dU}{dt}=A_x[x(t),y(t)]\frac{dx}{dt}+B_y[x(t),y(t)]\frac{dy}{dt}$.
Получив решение дифференциального уравнения в точке $x_0,y_0$, равное $U(x_0,y_0)$ надо построить решение уравнения Пфаффа по формуле
$U(x,y)=U(x_0,y_0)+A_x(x_0,y_0)(x-x_0)+B_y(x_0,y_0)(y-y_0)+0(x-x_0)^2+0(y-y_0)^2+0[(x-x_0)(y-y_0)]\eqno(1)$
т.е. функция потенциал определена с точность $0(x-x_0)^2+0(y-y_0)^2+0[(x-x_0)(y-y_0)]$
тогда продифференцировав функцию (1) по x, получим
$\frac{\partial U}{\partial x}=A_x(x_0,y_0)+0(x-x_0)+0(y-y_0)$получим приближенное значение коэффициентов уравнения Пфаффа. При этом в точке $x=x_0,y=y_0$ получим точное значение коэффициентов уравнения Пфаффа.

[shwedka]

То есть $x_0,y_0$ - произвольная точка на кривой?

evgeniy в сообщении #485549 писал(а):

т.е. функция потенциал определена с точность $0(x-x_0)^2+0(y-y_0)^2+0[(x-x_0)(y-y_0)]$

Чепуха.
Функция должна быть определена не 'с точностью', а точно.
Вот пусть у меня есть точка $x,y$ в окрестности кривой. Какой формулой Вы задаете $U(x,y)$. И не надо тупо повторять

evgeniy в сообщении #485549 писал(а):

надо построить решение уравнения Пфаффа по формуле
$U(x,y)=U(x_0,y_0)+A_x(x_0,y_0)(x-x_0)+B_y(x_0,y_0)(y-y_0)+0(x-x_0)^2+0(y-y_0)^2+0[(x-x_0)(y-y_0)]\eqno(1)$

Эта формула не может служить определением функции. По ней нельзя вычислять. Она может только выразить свойства уже построенной функции. Так что повторяю вопрос. После того, как Вы построили $U$ на кривой, и у меня есть точка $x,y$ в окрестности кривой. Какой формулой Вы задаете $U(x,y)$.

evgeniy в сообщении #485549 писал(а):

Решением вдоль кривой в окрестности точки $x_0,y_0$, называется функция, определяющая значение потенциала в окрестности точки $x_0,y_0$ с точностью $0(x-x_0)^2+0(y-y_0)^2+0[(x-x_0)(y-y_0)]$.

Бессмыслица. МОжно подумать, что настоящее решение есть, а Ваше- только его прилично приближает. Настоящего решения в окрестности кривой нет, так что приближать нечего.

Чем Вам не нравится определение, которое я написала?