Доказать, или показать на примере, что:

Sonic86 · 08/04/08 8562

Апис в сообщении #484407 писал(а):

Например: 2 базисное числа, все числа кратные 2, которые делятся на 2, есть базис от 2.

Т.е. если $p$ - простое число, то множество $K_p = \{ x:x=kp, k \in \mathbb{Z} \} = \{ ...,-2p,-p,0,p,2p,...\}$ - базис числа $p$ ?

Апис · 24/01/07 ∞ 402

Не усложняйте, в базисе только положительные числа

vorvalm · 31/12/10 1555

Вычет (deduction англ.) - число, взятое из какой-либо последовательности (А.А.Бухштаб).

Апис · 24/01/07 ∞ 402

vorvalm в сообщении #484442 писал(а):

Вычет (deduction англ.) - число, взятое из какой-либо последовательности (А.А.Бухштаб).

P_2-P_1=
P_3-P_2=
P_4-P_3=
P_5-P_4=
...
Результаты этих вычитаний есть последовательность определённых чисел, взяв одно из них, получим вычет, то есть число взятое из какой-либо последовательности. Всё в пределах здравого смысла

Sonic86 · 08/04/08 8562

Апис в сообщении #484427 писал(а):

Не усложняйте, в базисе только положительные числа

Угу: $K_p = \{ p,2p,...\}$ .
А еще точнее:

Апис в сообщении #483992 писал(а):

Из полученного при факторизации ряда простых чисел, берём наименьшее простое число, считаем его, как за базисное, и от него идёт базис.

т.е. $K_p(a) = \{ ap,(a+1)p,...\}$ для некоторого $a$ . Пока понятно более-менее.
Вот этот кусок:

Апис в сообщении #483992 писал(а):

Далее, любой отрезок [a,b], можно представить, как начальный отрезок, как начало всех базисов, но с другим порядком расположения простых чисел. Это можно сделать следующим образом. Для этого на отрезке [a,b] начиная с числа (а) проводим последовательную факторизацию, как мы предположили всех составных чисел. Из полученного при факторизации ряда простых чисел, берём наименьшее простое число, считаем его, как за базисное, и от него идёт базис. Следующее составное число не входящее в предыдущий базис, опять же факторизация этого числа, далее берём наименьшее простое число и от него идёт базис. И так для всех составных чисел на отрезке [a,b]. На полученном, представленном как начальный, отрезке [a,b] будет обязательно место, которое должно занять число производное от кратного (P_n). Потому что величина отрезка равна P_n Но так как все множители для кратного (P_n), меньшие числа, чем число (P_n) входят в свои базисы, а большие числа чем число (P_n) невозможны. Так как ограничен интервал $\[\left( {1,p_n^2} \right)\]$ по величине. При большем числе, чем число (P_n) значение выйдет за рамки интервала.

я понимаю просто так: если мы возьмем любое число $c \in [a;b] \cap \mathbb{N}$ , то поскольку $b \leqslant p_n^2$ , то $c$ имеет делитель простой $p \leqslant p_n$ . Здесь нужно только оговорить случай простого $c$ , для которого при $a>p_n$ минимальный простой делитель равен $c$ и $c>p_n$ . Зачем в рассуждениях нужны базисы - непонятно.

Что такое

Апис в сообщении #483992 писал(а):

число производное от кратного (P_n)

не определено. Думаю, что для заданного $x:p_n|x$ под этим понимается $\frac{x}{p_n}$ , но не уверен.

Ну и наконец:

Апис в сообщении #483992 писал(а):

Отрезок [a,b] представленный как начальный отрезок, но с другим порядком расположения простых (базисных) чисел, обязательно имеет разрыв в виде числа, которое не является базисным числом, которое не входит не в один из базисов предыдущих простых, базисных чисел.

- голословное утверждение, ниоткуда не вытекающее.
Так что доказательства нету.

-- Вт сен 20, 2011 13:40:32 --

З.Ы. Формулы оформляйте ТеХом нормально.

Апис · 24/01/07 ∞ 402

Sonic86 в сообщении #484502 писал(а):

- голословное утверждение, ниоткуда не вытекающее.Так что доказательства нету.

Ещё раз. Имеем отрезок [a,b] больше или равный P_n. Превращаем его в, или, что то же самое, представляем его как начальный отрезок. Процедуру я не только описал, но и показал на примере. Так же показал, откуда и сколько, и где даже будут располагаться, на новом отрезке простые числа. В чём идентичность двух отрезков? Первый состоит из одних составных чисел, по условию. Во втором отрезке каждое составное число превращается в базисное простое число или в элемент базиса от простого числа. Я показал, что на втором отрезке будет место свободное, не занятое не базисным числом, не числом элементом базиса. О чём это говорит??? Что на первом отрезке не могут быть все числа составные, хотя бы одно должно быть простым.
Что и требовалось доказать.

Sonic86 · 08/04/08 8562

Апис в сообщении #484518 писал(а):

Процедуру я не только описал, но и показал на примере.

Не вижу.

Апис в сообщении #484518 писал(а):

Превращаем его в, или, что то же самое, представляем его как начальный отрезок.

Что такое "начальный отрезок"?

Апис · 24/01/07 ∞ 402

Доказать, что: На любом отрезке [a,b], величина которого, больше или равняется $\[{p_{n + 1}} - 1\]$ находящегося в интервале $\[\left( {\left( {{p_{n + 1}} - 1} \right),p_n^2} \right)\]$ всегда есть простое число. Или что то же самое, на интервале $\[\left( {\left( {{p_{n + 1}} - 1} \right),p_n^2} \right)\]$ нет пробела между простыми числами равного или большего $\[{p_{n + 1}} - 1\]$ Доказательство:
Определение начального отрезка, это отрезок величиной, $\[{p_{n + 1}} - 1\]$ находящийся в начале числовой оси. Определение базисного числа и базиса. Базис, это простое число (p) его базис, это числа (kp)
Формула $\[\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \]$ на начальном отрезке воспринимает все числа как составные, так как при вычислении результата решета Эратосфена, все простые числа на начальном отрезке являются базовыми числами по своему базису, а при вычислении отнимается весь базис, в том числе и базисное число. Например, 2 является базисом для всех чисел кратным двум и для формулы двойка такое же составное число, как и все остальные числа, кратные двум. Отсюда, начальный отрезок состоит (с точки зрения формулы $\[\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \]$ ) из одних составных чисел.
Начальный отрезок назовём оптимальным в силу того, что из элементов базисов простых чисел $\[{p_1}...{p_n}\]$ невозможно создать отрезок на интервале $\[\left( {\left( {{p_{n + 1}} - 1} \right),p_n^2} \right)\]$ (состоящий из одних составных чисел) равный или больший чем оптимальный, начальный отрезок. Докажем это утверждение, значит докажем, на интервале $\[\left( {\left( {{p_{n + 1}} - 1} \right),p_n^2} \right)\]$ нет пробела между простыми числами равного или большего $\[{p_{n + 1}} - 1\]$
Любой отрезок [a,b], из составных чисел на интервале $\[\left( {\left( {{p_{n + 1}} - 1} \right),p_n^2} \right)\]$ можно представить в виде начального отрезка, но с другим начальным расположением базисных чисел. Для этого, начиная с числа (а), раскладываем числа на простые множители. Меньшее простое число, принимаем за базисное число. Все остальные числа (ka) за его базис. Так же поступаем со следующим числом не входящим в базис (ka) и так далее.
Докажем, что такой отрезок [a,b], представленный в виде начального отрезка, но с другим начальным расположением (простых) базисных чисел, не может быть равным или большим, чем начальный отрезок.
Доказательство:
К чему приведёт, если на начальном, оптимальном отрезке поменять местами (простые) базисные числа? Что такое поменять местами базисные числа? Это увеличить базис с большим базисным числом и одновременно уменьшить базис с меньшим базисным числом. К чему это приведёт? Это приведёт к увеличению элементов базиса с большим базисным числом, и к уменьшению элементов базиса с меньшим базисным числом. В итоге получим, на ограниченном отрезке [a,b], буде меньше, в сумме, элементов всех базисов. То есть на отрезке [a,b], всегда будет меньше составных чисел. Чем на начальном оптимальном отрезке.
Это и есть доказательство того, что на интервале $\[\left( {\left( {{p_{n + 1}} - 1} \right),p_n^2} \right)\]$ нет пробела между простыми числами равного или большего $\[{p_{n + 1}} - 1\]$ Или что то же самое. На любом отрезке [a,b], величина которого, больше или равняется $\[{p_{n + 1}} - 1\]$ находящегося в интервале $\[\left( {\left( {{p_{n + 1}} - 1} \right),p_n^2} \right)\]$ всегда есть простое число.

Sonic86 · 08/04/08 8562