Помогите решить уравнение в натуральных числах

[kur amizraf]

$m!+136=n^n$
в натуральных числах

Ясно что подходит 5 и 4, но как доказать что это единственное решение?

[ИСН]

Наверняка проверкой по какому-нибудь небольшому модулю.

[kur amizraf]

ИСН в сообщении #484798 писал(а):

Наверняка проверкой по какому-нибудь небольшому модулю.

Оба числа положительны, значит и модули уних положительны. Что дальше?

[ИСН]

Да не в этом смысле. Сравнения, делимость, знаете?

[kur amizraf]

ИСН в сообщении #484802 писал(а):

Да не в этом смысле. Сравнения, делимость, знаете?

Всмысле четное-нечетное? Так оба четные. Хотя нет. Если n нечетное тои $n^n$ нечетное. Ну значит оставляем толькко четные n. А как потом быть?

[ИСН]

Вот видите, провели сравнение по модулю 2 - и уже отсекли половину чисел. Надо попробовать по другим модулям. Хотя это пока только гипотеза.

-- Ср, 2011-09-21, 14:59 --

Например, при $m\ge6$ левая часть будет делиться на 8, но не будет на 16...

[Sonic86]

Разложите 136 на множители.

[kur amizraf]

Sonic86 в сообщении #484808 писал(а):

Разложите 136 на множители.

136=2*2*2*17

[ИСН]

Ну? Моё предыдущее сообщение делает смысл?

[kur amizraf]

ИСН в сообщении #484815 писал(а):

Ну? Моё предыдущее сообщение делает смысл?

Помоему да. 136 делиться на 8 но не делится на 16. Все большие факториалы делятся на 16. Если $n^n$ делится на 8 но неделиться на 16, то степень будет не выше 3.
правильно?

[ИСН]

Так. Значит...

[kur amizraf]

ИСН в сообщении #484822 писал(а):

Так. Значит...

Полностью вышло так. Все факториалы начиная с 6!=720 делятся на 16, поэтому если (m>5)!+136=n^n то n<4 и n^n<256. Маленькие факториалы проверяются перебором 5!+136=256=4^4, 4!+136=160 плохо, 3!+136=142 плохо, 2!+136=138 плохо и 1!+136=137 плохо.

[ИСН]

Ну, вот и доказали.

[kur amizraf]

ИСН в сообщении #484860 писал(а):

Ну, вот и доказали.

СПАСИБО