множество мощности большее чем N и меньшее чем P(N)

[alex_dorin]

подскажите образное описаниe/построение множества мощности большее чем N и меньшее чем P(N)

[Joker_vD]

Вы имеет в виду $\mathbb N$ и $\mathcal P(\mathbb N)$? Если вы принимаете континуум-гипотезу, то такого множества нет. Если вы ее отвергаете, то сгодится что угодно мощности $\aleph_1$.

[alex_dorin]

$\aleph_0$. = N
$\aleph_1$. = P(N) ?

[ИСН]

Вы принимаете континуум-гипотезу? Да или нет?

[alex_dorin]

КГ - здесь не верна

[ИСН]

Тогда (впрочем, равно как и в противном случае) см. сообщение Joker_vD.

[Someone]

Собственно говоря, этот вопрос недавно обсуждался в теме "Есть ли пример множества больше счетно но меньше несчетного?".

[alex_dorin]

При отрицании КГ вопрос о существовании множеств(а) промежуточной мощности решен. Прошу дать образное или ,если возможно, более конструктивное описание хотя бы одного такого множества.

[Someone]

Например, так.
Представьте себе последовательность натуральных чисел $0,1,2,3,\ldots,1000,1001,1002,1003,\ldots$ законченной. Следующий за всеми натуральными числами элемент обозначается $\omega$, далее считаем $\omega+1,\omega+2,\omega+3,\ldots$. Далее следуют $\omega\cdot 2,\omega\cdot 2+1,\omega\cdot 2+2,\omega\cdot 2+3,\ldots$. Потом $\omega\cdot 3,\omega\cdot 3+1,\omega\cdot 3+2,\ldots,\omega\cdot 4,\ldots,\omega\cdot 5,\ldots$. Когда-то мы доберёмся до $\omega^2=\omega\cdot\omega$, далее, естественно, пойдут $\omega^2,\omega^2+1,\omega^2+2,\ldots,\omega^3,\ldots,\omega^4,\ldots,\omega^{\omega},\ldots$. Ну и так далее. В общем, эти штуки называются ординалами, или порядковыми часлами.
Среди всех ординалов есть наименьший, которому предшествует несчётное множество ординалов. Вот это множество и имеет мощность $\aleph_1$ (мощность множества натуральных чисел обозначается $\aleph_0$, а $\mathfrac c$ - мощность множества действительных чисел). Выполняются неравенства $\aleph_0<\aleph_1\leqslant\mathfrac c=2^{\aleph_0}$. Континуум-гипотеза состоит, собственно, в том, что $\aleph_1=\mathfrac c$. Отрицание континуум-гипотезы означает, что $\aleph_0<\aleph_1<\mathfrac c$, и тогда множество конечных и счётных ординалов и является множеством промежуточной мощности.

[alex_dorin]

те по крайней мере в том числе это множества вида P(P(P(...(N)...) ?

[Someone]

Ни в коем случае. Где Вы здесь увидели что-нибудь похожее на $P(\mathbb N)$?

[ИСН]

Вот-вот. Где? И что это вообще такое? И чтобы два раза не вставать: Вы как понимаете обозначение $2^{\aleph_0}$?

[alex_dorin]

те бесконечные множества мощнее N . полученные без аксиомы множества-степени

[Dan B-Yallay]

Аксиомы чего?

[ИСН]

Множества чего? Степени чего?