Помогите решить задачу по теор. вер.

[Semibratov]

Задача такова:
Есть 3 игрока.
Они участвуют в игре в которой могут занять первое, второе или третье место. Одинаковые результаты они показать не могут.

Мы знаем что в этой же игре с двумя участниками:
игрок 1 победит игрока 2 с вероятностью p12,
он же победит игрока 3 с вероятностью p13,
а игрок 2 победит игрока 3 с вероятностью p23.
Очевидно что игрок 2 победит игрока 1 с вероятностью p21 = 1 - p12, и т.д.

Мы также знаем что участие 3-го игрока в игре не влияет на вероятность победы 1-го над 2-м.

После игры имеем 6 возможных результатов с распределением призовых мест:
123 (1-игрок первое место, 2-й - второе, 3-й - третье),
132,
213,
231,
312,
321.

Как подсчитать вероятность каждого события?
Как будет выглядеть решение для N-игроков?

Достаточны ли условия задачи для ее решения?

Возможно ли для данной приблизительное решение или что-то подобное?

PS. Мне в голову пришло одна мысль в виде решения системы уравнений

P12 = P123 + P132 + P312
P13 = P123 + P132 + P213
...
Однако решений оно не имеет...

[Gordmit]

Из условия: $p_{ij}$ - вероятность победы $i$ над игроком $j$ и независимости $p_{ij}$ для разных наборов $i, j$, очевидно, следует, что

$$p_{ijk}=p_{ij}p_{ik}p_{jk}$$

.

Аналогично будет выглядеть вероятность для $n$ игроков:

$$p_{i_1i_2\ldots i_n}=p_{i_1i_2}p_{i_1i_3}\ldots p_{i_1i_n}p_{i_2i_3}\ldots p_{i_2i_n}\ldots p_{i_{n-1}i_{n}}=\prod_{k=1}^{n-1}\prod_{l=k}^n p_{i_ki_l}$$

,
где $i_1,\ldots,i_n$ - перестановка номеров игроков $1,\ldots,n$ в порядке возрастания мест, занятых ими в результате игры.

[PAV]

По-моему, в условии задачи ничего не сказано про независимость. Ее и не может быть, так как если известно, что 1 победил 2 и 2 победил 3, то 1 достоверно побеждает 3. Более того, если взять предложенную формулу $p_{ijk}=p_{ij}p_{ik}p_{jk}$, то сумма полученных вероятностей не будет равна 1, так что это не будет распределением вероятностей. И понятно почему: данная формула описывает эксперимент, при котором проведены три независимые попарные игры. Но при этом не определено, как поступать в ситуации, когда 1 победил 2, 2 победил 3 и 3 победил 1.

На самом деле автор в конце привел верное решение. Нужно присвоить исходам $ijk$ неизвестные вероятности $p_{ijk}$. Имеем 6 неизвестных. Фраза, что "участие в игре 3 игрока не влияет на вероятность победы 1 над 2" означает, что если мы возьмем все исходы, в которых 1 оказался выше 2, и просуммируем их вероятности, то получим значение $p_{12}$. Т.е. имеем 3 уравнения, написанные в исходном посте. Плюс четвертое - условие нормировки вероятностей. Других условий вроде как в задаче нет. Получаем 4 уравнения с 6 неизвестными.

Думаю, что типичной ситуацией будет такая, при которой решение неоднозначно. С другой стороны, существуют ситуации, когда решения нет. Например, если 1 побеждает 2 с вероятностью 1, 2 побеждает 3 с вероятностью 1, но также 3 побеждает 1 с некоторой положительной вероятностью.

[незваный гость]

Поскольку мы разбиваем исходы на дизъюнкные события, то фактически мы имеем только три уравнения: дополнительные уравнения (p21 по отношению к p12) всегда удовлетворяются, коль скоро сумма всех 6 исходов равна 1. Таким образом мы имеем 3 уравнения о пяти неизвестных (шестое связано суммой исходов). В результате — двухпараметрическое семейство решений.

Например, мы можем считать $p231 = a$, $p312 = b$. Тогда $p123 = p12-p13+p23-a-b$, $p132=p13-p23+a$, $p213 = -p12+p13+b$, $p231=a$, $p312=b$,$p321=1-p13-a-b$. Естественно, что получившееся семейство ограничивается неравенствами на вероятность: $0 \leq p \leq 1$, поэтому решение может и не существовать.

[Gordmit]

PAV писал(а):

По-моему, в условии задачи ничего не сказано про независимость. Ее и не может быть, так как если известно, что 1 победил 2 и 2 победил 3, то 1 достоверно побеждает 3. Более того, если взять предложенную формулу $p_{ijk}=p_{ij}p_{ik}p_{jk}$, то сумма полученных вероятностей не будет равна 1, так что это не будет распределением вероятностей. И понятно почему: данная формула описывает эксперимент, при котором проведены три независимые попарные игры. Но при этом не определено, как поступать в ситуации, когда 1 победил 2, 2 победил 3 и 3 победил 1.

В условии задачи сказано, что игроки не могут показать одинаковые результаты, поэтому случай {1 победил 2, 2 победил 3 и 3 победил 1} невозможен.

А сумма полученных вероятностей будет равна 1, т.к. если ее записать и учесть, что $p_{ij}=1-p_{ji}$, получится выражение, эквивалентное записи в вероятностях того факта, что кто-то из них занял первое место (а это выполняется с вероятностью 1).

<здесь была глупость>

[Semibratov]

По данным условиям все понятно. Спасибо.

Хотелось бы еще получить оценку такого решения:
Я имею возможность провести ряд симуляций для получения приблизительной вероятности с которой каждый из участников займет первое место.
Допустим мы получили результаты: $P_1, P_2, P_3 для 1-го, 2-го и 3-го игрока соответственно.
Мы знаем что
$P_1 = P_1_2_3 + P_1_3_2
$P_2 = P_2_1_3 + P_2_3_1
$P_3 = P_3_1_2 + P_3_2_1
Подсчитываем вероятности исходов в которых первое место занял первый игрок $P_1_2_3 и $P_1_3_2 с помощью следующих формул
$P_1_2_3 = P_1 * P_2_3
$P_1_3_2 = P_1 * P_3_2 = P_1 * (1- P_2_3)

Аналогично для 2-го и 3-го игрока.

PS. Данная задача решается не как чисто теоретическая а весьма практическая поэтому такой подход.
PPS. Для симуляции при которой можно определить 2-е и 3-е место у меня нет готового алгоритма поэтому решил сделать так.
PPPS. Научился писать формулы

Добавлено спустя 10 минут 27 секунд:

Gordmit писал(а):

В условии задачи сказано, что игроки не могут показать одинаковые результаты, поэтому случай {1 победил 2, 2 победил 3 и 3 победил 1} невозможен.

А сумма полученных вероятностей будет равна 1, т.к. если ее записать и учесть, что $p_{ij}=1-p_{ji}$, получится выражение, эквивалентное записи в вероятностях того факта, что кто-то из них занял первое место (а это выполняется с вероятностью 1).

Кроме того, я не могу понять, с чего Вы взяли, что если известно, что 1 победил 2 и 2 победил 3, то 1 достоверно побеждает 3.

"игроки не могут показать одинаковые результаты" - этим я хотел сказать что они не могут поделить одно место на двоих

"Если 1 победил 2 и 2 победил 3, то 1 достоверно побеждает 3"- это верно хоть я об этом и не написал. иначе распределение по местам не имеет смысла.

[Gordmit]

Да, с независимостью косяк, конечно.
Я изначально принял условие

Цитата:

Мы также знаем что участие 3-го игрока в игре не влияет на вероятность победы 1-го над 2-м.

за независимость событий {1 победил 2}, {1 победил 3} и {2 победил 3}, но это и правда не может быть.

[PAV]

Поскольку задача скорее практическая похоже, чем теоретическая, и обсуждается скорее постановка, то переношу в основной раздел.