Вычислить асимптотику

[ThisIzGame]

Всем привет.
Проблема вот такая, есть интеграл $\int (t+2)^{-1}\cos(t^{3}) dt$
Пределы интегрирования от -бесконечности до -x, где x стремится к бесконечности. Сейчас в моей задаче все сводится к тому чтобы взять этот интеграл, но что-то я непонимаю как его брать при таких пределах интегрирования. Наведите на мысль, пожалуйста, какую замену стоит взять, или что-то другое сделать, а то что-то туплю я...

[Sonic86]

$\int\limits_{- \infty}^x \frac{\cos (t^3)}{t+2}dt$
Так? Если да, то в элементарных он скорее всего не берется. Уже $\int \frac{e^t}{t}dt$ не берется, а $\int \sin (t^2)dt$ - классический неберущийся интеграл Френеля.
И еще функция будет иметь точку разрыва 2-го рода, несобственный интеграл до точки разрыва тоже будет неограничен. Но это я просто к слову.

[ThisIzGame]

Sonic86 в сообщении #483920 писал(а):

$\int\limits_{- \infty}^x \frac{\cos (t^3)}{t+2}dt$
Так? Если да, то в элементарных он скорее всего не берется. Уже $\int \frac{e^t}{t}dt$ не берется, а $\int \sin (t^2)dt$ - классический неберущийся интеграл Френеля.
И еще функция будет иметь точку разрыва 2-го рода, несобственный интеграл до точки разрыва тоже будет неограничен. Но это я просто к слову.

да, только сверху -x в пределе интегрирования...

Вообще, я думаю стоит сказать полностью условие задачи...
Постановка задачи смледующая:
Нужно вычислить асимптотику $\int\limits_{- \infty}^{-x} \frac{\cos (t^3)}{t+2}dt$ при $x\to{\infty}$
Т.к. я в асимптотике не силен, пытаюсь делать по примерам, которые есть в учебнике.
В частности, пои предположения таковы:

1) Сделать замену переменной $t^{3}$, допустим, на y. Это для того, чтобы функция не была быстро колеблющейся.
2) Применить простой асимптотический метод, введя обозначение , допустим $Z(x,z) = \int\limits_{- \infty}^{-x} y^{z}\cos(y)dy$ где x > 0 (пока только так предположительно написал), если он будет сходится на данном промежутке, то потом вычисляем интеграл по частям (получаем остаток), ну и все в принципе. Правильно я хотя бы мыслю?

[AKM]

ThisIzGame,

исправьте написание формул в соответствии с Правилами. Замена формул картинками на форуме не допускается. Здесь рассказано, как набирать формулы (здесь подробнее). Используйте кнопку для редактирования своего сообщения.

Тема перемещена из "Помогите решить (М)" в карантин. Как исправите - пишите сюда, чтобы тему вернули.

Возвращено. Не надо писать Z(t) = $ ... $. Надо писать $Z(t) = ... $. Формула --- это вся формула, а не только спец. значки.

-- 18 сен 2011, 12:11 --

ThisIzGame в сообщении #483927 писал(а):

допустим $Z(t) = \int\limits_{- \infty}^{-x} y^{z}\cos(y)$ где $x > 0$

Послушайте, но это тоже какая-то ерунда: проверьте внимательно, не спешите. Не только дифференциал пропал, но и буковки не те: $t$ только слева.
Похоже, кнопка Правка у Вас пока активна (час не прошёл), и Вы можете внести исправления без карантина.

[Sonic86]

ThisIzGame в сообщении #483927 писал(а):

Вообще, я думаю стоит сказать полностью условие задачи...
Постановка задачи смледующая:
Нужно вычислить асимптотику $\int\limits_{- \infty}^{-x} \frac{\cos (t^3)}{t+2}dt$ при $x\to{\infty}$
Т.к. я в асимптотике не силен, пытаюсь делать по примерам, которые есть в учебнике.

Блин, ну ни фига себе это же гораздо легче, нежели взять интеграл
По асимптотике я Вам толком порекомендовать ничего не смог. Знаю:
1. Грэхем, Кнут, Паташник Конкретная математика, глава Асимптотика
2. Де Брейн Асимптотические методы в анализе.
3. Фихтенгольц, Курс диф. и интегр. исчисления, том 3, последняя глава.
Обозначим $f(x)=\int\limits_{- \infty}^{-x} \frac{\cos (t^3)}{t+2}dt$
Ну для начала Вам нужно найти предел $\lim\limits_{x \to + \infty}f(x)$. Тогда хоть станет понятно, к чему стремится интеграл. Потом можно сделать грубую прикидку асимптотики сверху, оценив косинус сверху.

ThisIzGame в сообщении #483927 писал(а):

1) Сделать замену переменной $t^{3}$, допустим, на y. Это для того, чтобы функция не была быстро колеблющейся.
2) Применить простой асимптотический метод, введя обозначение , допустим $Z(x,z) = \int\limits_{- \infty}^{-x} y^{z}\cos(y)dy$ где x > 0 (пока только так предположительно написал), если он будет сходится на данном промежутке, то потом вычисляем интеграл по частям (получаем остаток), ну и все в принципе. Правильно я хотя бы мыслю?

Да, вполне себе метод, можете попробовать. Интегрирование по частям и разложение в ряды здесь являются основными приемами.

-- Вс сен 18, 2011 09:14:04 --

Кстати, название темы неадекватно. Лучше бы что-то типа "вычислить асимптотику". Попробуйте исправить.

[ThisIzGame]

Цитата:

Sonic86

спасибо за ответ.

Не мыогли бы вы меня немного проверить, а то интегралы я уже подзабыл немного, может и где ошибся...
После замены переменной $T^3$ на $z$ я получил следующий интеграл: $\int\limits_{- \infty}^{-x} \frac{\cos (z)}{z+2z^{2/3}}dz$. Далее, как я понял из учебника, мы можем "расширить пределы интегирования", то есть сказать рассм. интеграл $Z(x) = \int\limits_{- \infty}^{-x} \frac{\cos (z)}{z+2z^{2/3}}dz$ где x > (допустим -3) (первоначально было x$\to {-\infty}$
А такой интеграл сходится по признаку Дирихле. Первообразная $\cos$ ограничена, а $\frac{1}{z+2z^{2/3}}$ непрерывно дифференцируема и монотонна на (${-\infty}$, -3 ). Тут у меня возникли сомнения. Действительно ли этот интеграл сходится по признаку Дирихле? Или пр.Дирихле годен только для интегралов вида $\int\limits_{a}^{+\infty} f(z)g(z)dz$? Если я всё правильно сделал, останется только проинтегрировать по кругу этот интеграл и т.д...

[Sonic86]

ThisIzGame в сообщении #483956 писал(а):

Действительно ли этот интеграл сходится по признаку Дирихле?

Я насчет Дирихле точно не уверен, но если интеграл с нижним конечным пределом проинтегрировать по частям, то будет видно, что он сходится.

ThisIzGame в сообщении #483956 писал(а):

проинтегрировать по кругу

Не знаю, что это значит.

[AKM]

ThisIzGame в сообщении #483956 писал(а):

я получил следующий интеграл: $\int\limits_{- \infty}^{-x} \frac{\cos (z)}{z+2z^{2/3}}dz$.

$\dfrac13$ перед интегралом потеряли.

[ThisIzGame]

Цитата:

ThisIzGame в сообщении #483956 писал(а):

проинтегрировать по кругу

Не знаю, что это значит.

ну то есть интегрировать до тех пор, пока не получим снова наш исходный интеграл(это и будет остатком)

Цитата:

1/3 перед интегралом потеряли.

Да, спасибо.

И все равно, какая-то беда с пределами интегрирования. Даже когда я пытаюсь проинтегрировать по частям, там ничего не получается. Тупо все нули получаются... Не ну может я чего-то непонимаю, но может кто-нибудь объяснит мне как такое возможно, что верхние и нижний пределы интегрирования у меня совпадают? И как это разрешить?

[Sonic86]

ThisIzGame в сообщении #484007 писал(а):

И все равно, какая-то беда с пределами интегрирования. Даже когда я пытаюсь проинтегрировать по частям, там ничего не получается. Тупо все нули получаются... Не ну может я чего-то непонимаю, но может кто-нибудь объяснит мне как такое возможно, что верхние и нижний пределы интегрирования у меня совпадают? И как это разрешить?

Непонятно. Пишите вычисление. Берите интеграл $\int\limits_{-M}^{-x}\frac{\cos z dz}{z+2z^{2/3}}$ по частям ($dv = \cos z dz$). Так конкретно ошибку указать не могу.

[ThisIzGame]

Sonic86 в сообщении #484017 писал(а):

ThisIzGame в сообщении #484007 писал(а):

И все равно, какая-то беда с пределами интегрирования. Даже когда я пытаюсь проинтегрировать по частям, там ничего не получается. Тупо все нули получаются... Не ну может я чего-то непонимаю, но может кто-нибудь объяснит мне как такое возможно, что верхние и нижний пределы интегрирования у меня совпадают? И как это разрешить?

Непонятно. Пишите вычисление. Берите интеграл $\int\limits_{-M}^{-x}\frac{\cos z dz}{z+2z^{2/3}}$ по частям ($dv = \cos z dz$). Так конкретно ошибку указать не могу.

Вот смотрите, вычисляем этот интеграл по частям $u = \frac{1}{(z+2z^{2/3})} dv = \cos(z)dz$ в итоге получаю
$\frac{\sin(z)}{z+2z^{2/3}}|\limits_{-M}^{-x} - $...дальше неважно, что пока там...
Ну а т.к. у меня $-M \to \infty $ и $-x \to \infty $ я при подстановке получаю 0. Верно?

[Sonic86]

ThisIzGame в сообщении #484026 писал(а):

Ну а т.к. у меня $-M \to \infty $ и $-x \to \infty $ я при подстановке получаю 0. Верно?

Предел при $x \to + \infty$ Вы нашли (что означает, что $f(x)$ - бесконечно малая при $x \to + \infty$). Теперь без предела по $x$, только по $M$ - что получится?