Гомеоморфизм: внутренность кольца и плоскость без одной точк

[Бабай]

Здавствуйте!

Я хотел бы установить гомеоморфность внутренности кольца на плоскости и всей плоскости без одной точки.

Для определённости задался кольцом $K=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : a < \sqrt{x^2+y^2} < b\}$. Хочу сначала отобразить на диск без начала координат $K'=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : 0 < \sqrt{x^2+y^2} < a\}$, а затем "раздуть" до всей плоскости без одной точки.

Я что-то не соображу, как радиус-вектор, отмечающий точку кольца $K$ сократить до вектора, который отметит точку в $K'$ так, чтобы например вектор кольца $K$ длины $(b+a)/2$ преобразовать в вектор кольца $K'$ длины $a/2$ и т.д.?

[Sonic86]

Бабай в сообщении #483301 писал(а):

Я хотел бы установить гомеоморфность внутренности кольца на плоскости и всей плоскости без одной точки.

А так Вам не нравится (в полярных координатах)?
$f(r) = \tg (\frac{\pi}{2} \cdot \frac{r-a}{b-a})$
Или Вам надо именно через $K'$?

-- Чт сен 15, 2011 13:39:16 --

Бабай в сообщении #483301 писал(а):

Я что-то не соображу, как радиус-вектор, отмечающий точку кольца $K$ сократить до вектора, который отметит точку в $K'$ так, чтобы например вектор кольца $K$ длины $(b+a)/2$ преобразовать в вектор кольца $K'$ длины $a/2$ и т.д.?

Например так: $r \in [a;b] \Rightarrow g(r)=a \cdot \frac{r-a}{b-a} \in [0;a]$, при этом $g \left( \frac{a+b}{2}\right) = \frac{a}{2}$.

[ewert]

Бабай в сообщении #483301 писал(а):

Я что-то не соображу, как радиус-вектор, отмечающий точку кольца $K$ сократить до вектора, который отметит точку в $K'$ так, чтобы например вектор кольца $K$ длины $(b+a)/2$ преобразовать в вектор кольца $K'$ длины $a/2$ и т.д.?

Собственно, задача в том, чтобы отобразить интервал (вдоль радиуса) на открытую полуось. Ну это очевидно и разными способами делается.

[Бабай]

Sonic86 в сообщении #483304 писал(а):

А так Вам не нравится (в полярных координатах)?

Или Вам надо именно через ?

Почему же…очень даже нравится…коротко и красиво! :)

Просто первое, что пришло мне в голову, -- это составить композицию гомеоморфизмов, причём используя только обыкновенную координатную запись (не полярную), т.е. хотел задать гомеоморфизмы $\varphi_1 : K \rightarrow K', \, (x,y) \mapsto \varphi_1(x,y)$, а затем $\varphi_2: K' \rightarrow \mathbb{R}^2 \setminus \{0\} , \, (x,y) \mapsto \varphi_2(x,y)$, чтобы потом сказать, что искомый гомеоморфизм есть $\varphi :=\varphi_2 \circ \varphi_1$. Конечно, не самый элегантный вариант…но всё же…из вашей подсказки видно, что можно взять

$\varphi_1(x,y)=(a\frac{\sqrt{x^2+y^2}-a}{b-a}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},a\frac{\sqrt{x^2+y^2}-a}{b-a}\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}})$,

а потом можно взять

$\varphi_2(x,y)=\frac{(x,y)}{a-\sqrt{x^2+y^2}}$.


В этой связи ещё один вопрос. Я аналогично поступил, определив гомеоморфизм между кольцом в плоскости xy (с границей) в $\mathbb{R}^2$ и цилиндром в $\mathbb{R}^3$, составив $\varphi_1$ между кольцом (как подмножества в $\mathbb{R}^3$) и верхней половиной сферы соответствующего радиуса, а потом отобразив эту часть сферы радиально от оси z.

Но видимо его можно задать одним махом как (хорошую) функцию $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$. Как научиться быстро угадывать такие вещи? Есть какие-то общие эвристические методы на этот счёт?

[Sonic86]

Бабай в сообщении #483937 писал(а):

В этой связи ещё один вопрос. Я аналогично поступил, определив гомеоморфизм между кольцом в плоскости xy (с границей) в $\mathbb{R}^2$ и цилиндром в $\mathbb{R}^3$, составив $\varphi_1$ между кольцом (как подмножества в $\mathbb{R}^3$) и верхней половиной сферы соответствующего радиуса, а потом отобразив эту часть сферы радиально от оси z.

Вы хотите отобразить $\{ M: R_1 \leqslant r=\sqrt{x^2+y^2} \leqslant R_2, z=0 \}$ в $\{ M: R_3 =\sqrt{x^2+y^2}, 0 \leqslant z \leqslant h \}$? Если да, то в полярных координатах $(r,z)$ задача принимает вид: отобразить отрезок $\{ M:z=0, R_1 \leqslant r \leqslant R_2 \}$ в $\{ M:r=R_3, 0 \leqslant z \leqslant h \}$, что можно сделать через поворот на $\frac{\pi}{2}$ сжатие и перенос (могу формулы выписать). Через одну проекцию видимо не получится. Можно попытаться построить аффинное преобразование по 2-м точкам ($(R_1;0);(R_2;0) \to (R_3;0);(R_3;h)$), но я немного затрудняюсь. Можно выполнить сжатие первого отрезка до длины искомого отрезка, а затем выполнить симметрию (она одна такая) относительно общего перпендикуляра к прямым, соединяющим концы отрезков.

Бабай в сообщении #483937 писал(а):

Но видимо его можно задать одним махом как (хорошую) функцию $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$. Как научиться быстро угадывать такие вещи? Есть какие-то общие эвристические методы на этот счёт?

Я не знаю, думаю, надо хотя бы запомнить и научиться использовать простые геометрические конструкции (проекции, повороты, переносы, гомотетии, симметрии) и комбинировать их.

[Бабай]

Спасибо, Sonic86! Формулы, которые Вы имеете в виду, я наверное лучше выпишу сам потом…потом сам добавлю.

Запишу для полноты только то, что я тогда надумал, а именно гомеоморфизм между кольцом $K$ и цилиндром (который в моём случае хоть и зависит от формы кольца, но который всегда можно растянуть вдоль оси Oz) есть $\varphi:=\varphi_2 \circ \varphi_1$, где

$\varphi_1(x,y,0)=(x,y,\sqrt{b^2-x^2-y^2})$,
$\varphi_2(x,y,z)=(x+(b-\sqrt{x^2+y^2})\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},y+(b-\sqrt{x^2+y^2})\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},z)$.

[Бабай]

Да, кстати, может лучше всё-таки задать ещё пару вопросов по следующему поводу.

1) Требуется доказать гомеоморфность замкнутого шара и куба в $\mathbb{R}^3$.
Известно, что поверхность куба можно отобразить на сферу, просто нормируя вектор, т.е. при помощи $\varphi(x,y,z)=\frac{(x,y,z)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$, а обратно при помощи $\varphi^{-1}(x,y,z)=\frac{(x,y,z)}{\max\{|x|,|y|,|z|\}}$. Легко проверить, что это действительно обратное отображение. Таким образом, всё биективно и непрерывно, и значит всё хорошо.

Но эти отображения же можно использовать и для установления гомеоморфности шара и куба, потому что они применяются так сказать "послойно", не так ли? То есть в моих глазах гомеоморфность сферы и поверхности куба -- это "частный случай", или лучше сказать "исходит от", гомеоморфности шара и куба. Думаю, вопрос банальный, но кажется его можно переформулировать следующим образом: Всегда ли это так, что гомеоморфизм сохраняет свой формальный вид на границе множеств?…не может ли возникнуть проблем? Ведь если я возьму шар и попытаюсь отобразить его на внутренность куба с прилепленными наугад кусками его границы, то уже же ничего не получится…придется же резать и сферу на куски и строить отображения кусочно...ведь так?

2) Вот есть упражнение с таким условием:
"Докажите, что отображение полуинтервала $ [0,1) $ на окружность в комплексной плоскости, задаваемое функцией $z=e^{i2\pi t},0 \le t <1$, не является гомеоморфизмом (метрика в комплексной плоскости задаётся формулой $\rho(z_1,z_2)=|z_1-z_2|$)."

В связи с этим условием есть

Вопрос 1. Зачем мне здесь напоминают о метрике? Как-то странно. Ведь в обосновании можно же обойтись и без неё. Суть же в том, что обратное отображение $t=-\frac{i}{2\pi} \ln z$ (где $\ln z$ -- главное значение) не является непрерывным. Это слишком просто или мне это только так кажется, что непрерывность нарушается из-за того, что при стремлении $z$ вдоль пути, описывающем окружность в комп. плоскости, "сверху" и соотв. "снизу" к единице, получаем два разных предела -- 0 и 1. Этого же вроде бы достаточно…не нужно же устремляться к единице со всех направлений…то есть формально записывать всё на языке эпсилон-дельта. Счастье вроде бы в том, что данная в условии функция и есть путь, описывающий окружность. Поэтому делать в принципе нечего…даже похоже немного на тавтологию. Короче, я не понял, для чего мне нужна метрика, так как на непрерывность проверяется обратная, а не исходно данная функция.

Вопрос 2. Читая условие, складывается впечатление, что гомеоморфизм всё-таки существует, если пользоваться каким-то другим отображением. Так что, эти две вещи всё-таки гомеоморфны?

[alcoholist]

1) конечно, проблемы возникнут... $(-1;0)\cup(0;1)$ гомеоморфно $(-2;-1)\cup (1;2)$, но границы не гомеоморфны

В случае двумерной сферы... возьмите два негомеоморфных трехмерных топологических многообразия без границы и выкиньте из каждого открытый шар -- гомеоморфизм между границами (двумерный сферы!) нельзя продолжить до гомеоморфизма самих (получившихся после вырезания шаров) многообразий.

2) метрика упоминается потому, что она определяет топологию -- $\epsilon-\delta$ это и есть метрические понятия

гомеоморфизма не существует: при выкидывании из окружности любой точки она остается связной