Законы сохранения

[srm]

Здравствуйте. Вроде, совсем простой вопрос, но до меня не доходит.
Можно ли по виду функции Лагранжа определить - будет ли полный импульс в системе сохраняться? Очевидно, что да. Сохранение импульса вытекает из симметрии функции Лагранжа относительно сдвига координат.
Пример - движении материальной точки в однородном поле силы тяжести. Очевидно, что импульс сохраняться не будет.

$L_1\left(x, \dot{x}\right) = \frac{1}{2} m \dot{x}^2$ - mgx
$L_2\left(x+h, \dot{x}\right) = \frac{1}{2} m \dot{x}^2$ - mgx - mgh

Но $L_1$ и $L_2$ отличаются на константу, которая на уравнения движения (при вариации функционала действия) никак не повлияет. Или же функция Лагранжа при сдвиге координат не должна изменятсья вообще? Почему?

-- Пн июн 27, 2011 22:50:35 --

Ещё никак не могу запомнить формулы Гамильтона
$\frac{\partial H}{\partial q_i}=\dot{p_i}$
$\frac{\partial H}{\partial p_i}=-\dot{q_i}$
где там знак минус, может есть какое-то мнемоническое правило?

[_hum_]

srm в сообщении #462914 писал(а):

Или же функция Лагранжа при сдвиге координат не должна изменятсья вообще? Почему?

Насколько я понимаю, для вывода сохранности обощенного импульса нужно условие $\delta L (h) \equiv 0$. В вашем случае оно, очевидно, не выполняется: $\delta L (h) = -mgh$.

Насчет мнемонического правила, думаю, стоит лучше спросить в разделе физики.

[AKM]

srm в сообщении #462914 писал(а):

$L_2\left(x+h, \dot{x}\right) = \frac{1}{2} m \dot{x}^2$ - mgx - mgh

srm,
почему Вы так странно-неуклюже-коряво пишете формулы?
$L_2(x+h, \dot{x}) = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - mgx - mgh$.
Здесь рассказано, как набирать формулы.

[srm]

_hum_ в сообщении #462935 писал(а):

Насколько я понимаю, для вывода сохранности обощенного импульса нужно условие $\delta L (h) \equiv 0$. $\delta L (h) = -mgh$.

Почему? Ведь функция Лагранжа определена лишь с точностью до аддитивной производной по времени некоторой функции. Значит и вариация может быть равна этой самой производной.

[ewert]

(Оффтоп)

srm в сообщении #463032 писал(а):

Потому что ТЕХ такой странный-неуклюже-корявый. Я пишу в LyX и копирую сюда. Там всё нормально, здесь отображается коряво. Могли бы как-то стандартизировать, чтобы не приходилось править под код для каждого форума.

Потому что LyX -- экзотика, в то время как TeX -- стандарт вёрстки де-факто. Вы попросту баксик не туда втыкнули. Так всегда случается,когда действуешь не думая.

[_hum_]

srm в сообщении #463032 писал(а):

_hum_ в сообщении #462935 писал(а):

Насколько я понимаю, для вывода сохранности обощенного импульса нужно условие $\delta L (h) \equiv 0$.

Почему? Ведь функция Лагранжа определена лишь с точностью до аддитивной производной по времени некоторой функции. Значит и вариация может быть равна этой самой производной.

Я исходил их этого вывода: [url]http://ru.wikipedia.org/wiki/Закон_сохранения_импульса[/url], который, по-моему, предполагает именно равенство нулю.

[srm]

_hum_ в сообщении #463048 писал(а):

Я исходил их этого вывода

Я исхожу из "ЛЛ, том 1, механика". Он в самом начале говорит, что функция Лагранжа определена с точностю до аддитивной производной по времени некоторой функции, т.к. при вариации действия экстремаль не изменится. А потом при выводе законов сохранения говорит, что вариация действия при сдвиге координат должна быть равна нулю. А вот почему именно нулю, а не производной по времени некоторой функции он не поясняет.

[_hum_]

Если я правильно понимаю, вопрос ваш в следующем. На множестве функций Лагранжа $L = L(x,v,t)$ введено отношение эквивалентности: считается, что $L^1 \sim L^2$, если $L^1 = L^2 \,+\, f'_x v + f'_t$ для некоторой функции $f = f(x,t)$.

Эта эквивалентность отражает тот факт, что соответствующие функции приводят к одним и тем же дифференциальным уравнениям движения (уравнениям Эйлера-Лагранжа). Если исходить из этого, то тогда, действительно, используемая при выводе закона сохранения импульса посылка о неизменности свойств замкнутой системы при параллельных переносах в пространстве должна формализоваться именно как неизменность класса эквивалентности функции, а не как в ЛЛ -- неизменности самой функции при преобразовании переноса.
То есть, условие должно быть

$$ L(x + h, v, t) \sim L(x, v, t) \quad \Big(L(x + h, v, t) \,=\, L(x, v, t) \,+\,F'_x(h; x,t) v \,+\, F'_t(h;x,t)\Big),\quad (*) $$

а не

$$ L(x + h, v, t) = L(x, v, t).\quad(**) $$

Почему же так не делается, ответить не могу. Возможно, мы неправильно трактуем ландау-лившицкое "в силу однородности пространства механические свойства любой замкнутой системы не меняются при любом параллельном переносе системы как целого в пространстве". Возможно, эти самые "свойства" определяются не только формой закона движения, а и какими-нибудь другими факторами, как раз и требующими выполнения $(**)$. Ведь, например, форма закона свободного падения тела не зависит от сдвига по вертикали, однако импульс при этом не сохраняется. Наверное, лучше вам об этом у физиков спросить.

[srm]

_hum_, спасибо за правильную формулировку. Именно этот вопрос меня и интересует.
Кстати, может лучше было бы почитать что-нибудь кроме ЛЛ?

[Himfizik]

Из вариации функционала мы получаем уравнения Лагранжа. Теперь если какая-то координата не входит явно в функцию Лагранжа: $\partial L/\partial q_a=0$, то значит, в соответствии с уравнением Лагранжа: $\frac{ d }{ dt } \frac{ \partial L }{ \partial \dot{q_a} }=0$, тогда импульс: $p=\frac{ \partial L }{ \partial \dot{q_a} }$ сохраняется.

[srm]

Himfizik в сообщении #463451 писал(а):

Теперь если какая-то координата не входит явно в функцию Лагранжа

Это частный случай. Вообще говоря, функция Лагранжа может зависеть от координат и при этом импульс по этим координатам будет сохраняться. Меня интересует более общий вопрос: почему при сдвиге координат вариация функции Лагранжа должна быть равна нулю?

[Bulinator]

srm в сообщении #463455 писал(а):

почему при сдвиге координат вариация функции Лагранжа должна быть равна нулю?

Не функция Лагранжа, а ее изменение.
Тут надо различать симметрии Лагранжиана, и симметрии действия. Первые(которые не меняют Лагранжиан), очевидно, являются подмножеством вторых.
Попытайтесь показать, что даже если преобразование $\vec{r}\to\vec{r}+\delta\vec{r}$ является симметрией действия, ей соответствует тот же интеграл движения как если бы это преобразование было симметрией Лагранжиана.
Может быть будет полезно посмотреть парграф 43 ЛЛ1"Действие как функция координат".

-- Ср июн 29, 2011 20:05:31 --

По вопросу почему Лев Давыдович сразу приравнивает нулю изменение Лагранжиана а не в общем случае действия. Может быть у него были свои причины, но, основываясь на моем скромном опыте, в реально рассматриваемых задачах симметрии действия редко не совпадают с симметриями Лагранжиана. Впрочем, на классике это не имеет значения(в отличие от квантового случая).

[srm]

Видимоя, дело в том, что при вариации координат варьируются ещё и начальные условия функционала действия.