Интеграл по контуру

[Plato]

Вот задача:
$f(z) $ - регулярная ветвь многозначной функции $(2z-3)^{\frac{1}{3}}$ в комплексной плоскости с разрезом по лучу $\{ z:z=4-it, t\in \left [0,+\infty \right) \}$. Причем $f(8)=-1-\sqrt{3}i=-2e^{\frac{\pi i}{3}}$.
Вычислить интеграл
$I=\oint\limits_{\partial D}\frac{dz}{f(z)-z+2}$, где $\partial D$ - положительно ориентированная граница круга $D=\{z:|z-2|<\frac{3}{2}\}$.

Собственно проблема в том, что не сходится ответ мой и ответ данный в задачнике(i.e. $\frac{3}{5}\pi(1-3i)$). И не понятно то ли я накосячил, то ли у них опечатка, что не редкость.
Собственно решение:


Регулярная ветвь $\{(2z-3)^{\frac{1}{3}}\}$ очевидно существует.
Особые точки суть нули $f(z)-z+2$, т.е. $z=0,~z=3\pm i$
В контур входят $z=3\pm i$ (см. рисунок). Значения функции $f(z)$ в этих точках:
$f(3-i)=f(8)\sqrt[3]{\left| \frac{2(3-i)-8}{8}\right|}e^{\frac{i}{3}(\pi+\frac{\pi}{4})}=-2\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{2\pi i}{3}i+\frac{\pi i}{12}}=\sqrt{2}e^{-\frac{\pi i}{4}}$
$f(3+i)=f(8)\sqrt[3]{\left| \frac{2(3+i)-8}{8}\right|}e^{\frac{i}{3}(\pi-\frac{\pi}{4})}=-2\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{2\pi i}{3}i-\frac{\pi i}{12}}=-\sqrt{2}e^{\frac{7\pi i}{12}}$
Первые производные:
$f^\prime(3-i)=\frac{2}{3[f(3-i)]^2}=\frac{i}{3}$
$f^\prime(3+i)=\frac{2}{3[f(3+i)]^2}=-\frac{e^{-\frac{\pi i}{6}}}{3}$
Следовательно, $z=3\pm i$ - полюса первого порядка, т.к. $f^\prime(3\pm i)\neq 1.
Поэтому $I=2\pi i\left[ \frac{1}{f^\prime(z)-1}\bigg|_{z=3-i}+\frac{1}{f^\prime(z)-1}\bigg|_{z=3+i} \right ] =6\pi i \left [\frac{1}{i-3}-\frac{1}{e^{-\frac{\pi i}{6}}+3} \right]$ что очевидно не равно $\frac{3}{5}\pi(1-3i)$.

Подскажите где я ошибся?

P.S.: Здача из сборника М. Шабунин, Е. Половинкин, М. Карлов "Сборник задач по теории функции комплексного переменного" параграф 19 задача 15.
P.S.S: Заранее прошу прощения за безграмотный текст

[Plato]

Пардон опечатался: следует заменить $\{(2z-3)^{\frac{1}{3}}\}$ на $\{(2z-8)^{\frac{1}{3}}\}$, на ход решения это не повлияло! В решении использовалось $\{(2z-8)^{\frac{1}{3}}\}$

[ewert]

Plato в сообщении #482436 писал(а):

регулярная ветвь многозначной функции $(2z-3)^{\frac{1}{3}}$ в комплексной плоскости с разрезом по лучу $\{ z:z=4-it, t\in \left [0,+\infty \right) \}$

Чепуха какая-то. Во-первых, разрез должен начинаться не от четвёрки, а от трёх вторых, иначе о какой вообще регулярной ветви может идти речь. Во-вторых, как этот разрез ни выбирай, он всё равно пересечёт границу круга $\{z:|z-2|<\frac{3}{2}\}$, поэтому при чём тут вычеты. В-третьих, даже если бы не пересекал, слова "регулярная ветвь" достаточно бессмысленны -- она в любом случае подразумевается регулярной, а вот от выбора этой ветви результат зависит; конкретный же выбор никак не оговорён.

[Plato]

ewert в сообщении #482856 писал(а):

Чепуха какая-то. Во-первых, разрез должен начинаться не от четвёрки, а от трёх вторых, иначе о какой вообще регулярной ветви может идти речь. Во-вторых, как этот разрез ни выбирай, он всё равно пересечёт границу круга $\{z:|z-2|<\frac{3}{2}\}$, поэтому при чём тут вычеты. В-третьих, даже если бы не пересекал, слова "регулярная ветвь" достаточно бессмысленны -- она в любом случае подразумевается регулярной, а вот от выбора этой ветви результат зависит; конкретный же выбор никак не оговорён.

Уважаемый ewert. Читайте предыдущее сообщение. Там написано что опечатка присутствует и следует заменить $\{(2z-3)^{\frac{1}{3}}\}$ на $\{(2z-8)^{\frac{1}{3}}\}$.
Выбор регулярной ветви (прошу прощения если я невольно задел ваши чувства к "регулярным функциям", но термин "регулярная ветвь" взят из учебника Е.С. Половинкин "Курс Лекций по теории комплексного переменного", а также из М. Шабунин и Ю.Сидоров Теория функции комплексного переменного, если вам не нравится я не буду его использовать) действительно не оговорен, но поскольку ветвь однозначно определяется значением функции в точке $z=8$ это считается и так понятным.

[Plato]

Спасибо ,ewert, я разобрался и нашел ошибку.

[mihiv]

Полюс подынтегральной функции только точка $z=3-i$.