Вот задача:

- регулярная ветвь многозначной функции

в комплексной плоскости с разрезом по лучу

. Причем

.
Вычислить интеграл

, где

- положительно ориентированная граница круга

.
Собственно проблема в том, что не сходится ответ мой и ответ данный в задачнике(i.e.

). И не понятно то ли я накосячил, то ли у них опечатка, что не редкость.
Собственно решение:

Регулярная ветвь

очевидно существует.
Особые точки суть нули

, т.е.

В контур входят

(см. рисунок). Значения функции

в этих точках:
![$f(3+i)=f(8)\sqrt[3]{\left| \frac{2(3+i)-8}{8}\right|}e^{\frac{i}{3}(\pi-\frac{\pi}{4})}=-2\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{2\pi i}{3}i-\frac{\pi i}{12}}=-\sqrt{2}e^{\frac{7\pi i}{12}}$ $f(3+i)=f(8)\sqrt[3]{\left| \frac{2(3+i)-8}{8}\right|}e^{\frac{i}{3}(\pi-\frac{\pi}{4})}=-2\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{2\pi i}{3}i-\frac{\pi i}{12}}=-\sqrt{2}e^{\frac{7\pi i}{12}}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/1/0118d4e391c0680e607423e70ce8418182.png)
Первые производные:
![$f^\prime(3-i)=\frac{2}{3[f(3-i)]^2}=\frac{i}{3}$ $f^\prime(3-i)=\frac{2}{3[f(3-i)]^2}=\frac{i}{3}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/6/a569242b21c5de6303cba158b566dcbd82.png)
![$f^\prime(3+i)=\frac{2}{3[f(3+i)]^2}=-\frac{e^{-\frac{\pi i}{6}}}{3}$ $f^\prime(3+i)=\frac{2}{3[f(3+i)]^2}=-\frac{e^{-\frac{\pi i}{6}}}{3}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/4/164c581283a54191039786a18a6e7cf882.png)
Следовательно,

- полюса первого порядка, т.к.

.
Поэтому
![$I=2\pi i\left[ \frac{1}{f^\prime(z)-1}\bigg|_{z=3-i}+\frac{1}{f^\prime(z)-1}\bigg|_{z=3+i} \right ] =6\pi i \left [\frac{1}{i-3}-\frac{1}{e^{-\frac{\pi i}{6}}+3} \right]$ $I=2\pi i\left[ \frac{1}{f^\prime(z)-1}\bigg|_{z=3-i}+\frac{1}{f^\prime(z)-1}\bigg|_{z=3+i} \right ] =6\pi i \left [\frac{1}{i-3}-\frac{1}{e^{-\frac{\pi i}{6}}+3} \right]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/d/66d5e943beeb08b2291130bffe52403082.png)
что очевидно не равно

.
Подскажите где я ошибся?
P.S.: Здача из сборника М. Шабунин, Е. Половинкин, М. Карлов "Сборник задач по теории функции комплексного переменного" параграф 19 задача 15.
P.S.S: Заранее прошу прощения за безграмотный текст
