Задача на уравнение теплопроводности

[fuck3r]

Добрый день, в ВУЗе задали вот такую задачу (курсовой проект). Честно говоря, сложилась ситуация, что я не силен в УМФ, необходимо составить по условию задачу.

Изучал Тихонова, Самарского "УМФ", но не совсем понял, что к чему, из-за чего преподаватель (довольно необычный человек, на самом деле) отправил перерешивать.
Получилось нечто следующее:
$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac kc \frac{\partial u^2}{\partial^2 x}+\varphi(x)-\alpha(u-u_0)$

$u(t=0)=\psi(x), 0 \le x \le l$

$u(x=0,l)=0, 0 \le t \le T$

Но вроде как есть ошибки с тем, куда какие коэффициенты отнести, например прибавлять $\varphi(x)$ вроде как нельзя, потому что это плотность потока (могу ошибаться) и ее нужно на что-то поделить. Помогите, пожалуйста, составить задачу и, если вас не затруднит, дать пояснения.
Заранее благодарю.

[Dan B-Yallay]

fuck3r в сообщении #483106 писал(а):

$u(x=0,l)=0, 0 \le t \le T$

Это условие означает, что на торцах стержня поддерживается нулевая температура. В то время как в условии задачи концы теплоизолированы, то есть

$$\dfrac {\partial u}{\partial x}(x=0, \ l)=0, \ 0 \leqslant t \leqslant T$$

[fuck3r]

Dan B-Yallay
Верно, спасибо.
Это ошибка в краевых условиях, однако мне указали на неточности именно в самом уравнении теплопроводности. Так что работа далеко не закончена.

[Dan B-Yallay]

Я не спец в УрМатах и Тихонова-Самарского сейчас под рукой нету. Как нарою - отпишусь.
Может кто из знающих раньше появится.

[ИСН]

$\varphi\over c$

[Dan B-Yallay]

Кстати, Вы нигде параметр $s$ - сечение провода - не используете.
Он где-то с чем-то сокращается при выводе уравнения?

[ИСН]

Тьфу ты, я и не заметил. На него тоже где-то что-то надо поделить.

[Dan B-Yallay]

ИСН в сообщении #483154 писал(а):

Тьфу ты, я и не заметил. На него тоже где-то что-то надо поделить.

Точно! Надо умножить последнее слагаемое. Анализ размерностей рулит!

$$\dfrac{\partial u}{\partial t}=\dfrac k c \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\dfrac{\varphi(x)}{c}-s \cdot \alpha(u-u_0)$$

fuck3r
1) Проверьте единицы измерения в уравнении слева и справа. Сравните с размерностями в Вашем уравнении.
2) В первом посте - что у Вас там вместо второй производной от температуры по иксам? Не отдавайте такое преподавателю.

[fuck3r]

Dan B-Yallay
Смотрите, что получается:
Размерность коэф. теплообмена (тепловосприятия, теплоотдачи) $\alpha$: Дж / [с м^3 К]
Размерность коэф. теплопроводности $k$: Дж / [с м К]
Размерность коэф. объемной теплоемкости $c$: Дж / [м^3 К]
Размерность интенсивности (тут я так понимаю "объемная интенсивность", поэтому куб) $\varphi(x)$: Дж / [c м^3]
Размерность $\frac{\partial u}{\partial t}$: К/c
Размерность $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$: К/м^2
К - Кельвин, Дж - Джоуль, м - метр, с - секунда
Я правильно вычислил размерности? В интернете коэффициент теплообмена не объемный, а площадной (м^2), а тут такой не подходит (по размерности), тем не менее, теплообмен с окружающей средой идет с боковой поверхности - то есть с площади. Не совсем понятно, короче.
Залил книжку, которой пользуюсь, страница 180+:
http://db.tt/MjYgBNz

Спасибо за указание, сейчас поправлю первый пост, там случайно в латехе напутал.

upd: нет прав для правки поста

[Dan B-Yallay]

fuck3r в сообщении #483399 писал(а):

Размерность интенсивности (тут я так понимаю "объемная интенсивность", поэтому куб) $\varphi(x)$: Дж / [c м^3]

Я не уверен, но возможно интенсивность излучениа ($\varphi(x)$) имеет размерность Дж/с. Тогда в уравнении $\varphi$ на $c$ делить не надо.
Но это пока лишь мои личные домыслы.

[fuck3r]

Dan B-Yallay
Нет, вы совершенно правы, на "c" нужно поделить. Это я узнал от преподавателя, да и книгой подтверждается вроде как. Также рекомендую скачать книгу по ссылке, я думаю, это обеспечит несколько более комфортное понимание.
Но опять же исходя из Тихонова, Самарского, получается, что коэффициент теплообмена будет объемным (гуглом ищется, что такое существует). Это видно опять же из формулы на странице 184, но какой в этом смысл, совершенно не очевидно.
И да, если дж/c все равно неувязка.... вверху у нас Кельвины, а тут внезапно Джоули, несмотря на "транслируемость" этих величин, я полагаю, они должны как-то не смешиваться.

[Dan B-Yallay]

Скачал. будем разбираться.
С остальными членами уравнения вопросов не возникает, правильно?

[fuck3r]

Dan B-Yallay
Спасибо. Первый и второй члены "как бы очевидны" и есть в любой литературе - плюс по размерностям сходятся - дошло, короче. С интенсивностью понятно. Самая мякотка - закон Ньютона и что с ним делать (с учетом неочевидной размерности 3, вытекающей из книги). И куда девать площадь, если она нужна (а нужна ли? преподаватель предложил исследовать этот вопрос).
В нынешнем виде этот член неверен (последнее слагаемое). Вот собственно с ним и хочется разобраться на данный момент. Потом возможно по физ. модели возникнет вопрос, но давайте решать вопросы по мере поступления, я думаю.
Еще раз спасибо за помощь.