Вопрос о мероморфных функциях

[Melek Taus]

У меня 2 вопроса:
1. Могут ли различные мероморфные функции принимать одинаковые значения во всех точках некоторого контура (замкнутого или разомкнутого)?
2. Почему?
Очень нужно для исследования краевых задач в бесконечно связных областях...

[RIP]

Если две аналитические в области $G$ функции совпадают на множестве, которое имеет предельную точку в области $G$, то они совпадают всюду в области $G$.
Для мероморфных функций можно в качестве $G$ взять всю комплексную область $\mathbb{C}$, из которой выкинуты полюса этих функций. Поэтому ответ на первый вопрос - нет.

[Brukvalub]

Melek Taus писал(а):

У меня 2 вопроса:
1. Могут ли различные мероморфные функции принимать одинаковые значения во всех точках некоторого контура (замкнутого или разомкнутого)?
2. Почему?
Очень нужно для исследования краевых задач в бесконечно связных областях...

Нет, не могут. Представим каждую из двух мероморфных функций в виде отношения двух целых функций $\frac{{f(x)}}{{g(x)}}$ и $\frac{{f_1 (x)}}{{g_1 (x)}}$. Если эти функции равны в какой-либо точке, то в этой точке будут равны целые функции $f(x) \cdot g_1 (x)$ и $f_1 (x) \cdot g(x)$. Если же две целые функции тождественно совпадают на множестве, имеющем предельную точку (а контур является именно таким множеством), то они тождественно равны в С, а тогда совпадут и мероморфные функции.