как посчитать двойной интеграл численно?

[shuchers]

$\int_a^b\int_a^b f(x)dx $ - вроде должно быть все просто, но в стандартных книжках ничего не нашел. Есть какие нибудь хорошие способы? или просто осмысленно написать свою процедуру?

[arseniiv]

А не $\int_c^d\int_a^b f(x)\,dx\,dy$?

[shuchers]

опишу полностью задачу.
есть условия:
$f_1(x_0) = f_2(x_0); \quad f_1'(x_0) = f_2'(x_0); $
$f_1''(x), f_2''(x) $ - известны аналитически
Нужно найти $ f_1, f_2 $ при условии некоторой оптимизации.
Т. е. условие с первой производной запишется в виде
$\int_a^{x_0} f_1''(x)dx + C_1 =\int_a^{x_0} f_2''(x)dx + C_2 $,
Нужно найти $C_2$ перебирая $C_1$.
Так как мы перебираем то непринципиально как выбирать a?
Ну и далее зная $C_2$ и $C_1$ нужно найти соответствующие константы из первого условия.

[Dan B-Yallay]

shuchers в сообщении #482777 писал(а):

$\int_a^b\int_a^b f(x)dx $ - вроде должно быть все просто, но в стандартных книжках ничего не нашел.

И не найдете. Потому что смысла у написанного Вами выражения нету.

[shuchers]

Dan B-Yallay в сообщении #482792 писал(а):

shuchers в сообщении #482777 писал(а):

$\int_a^b\int_a^b f(x)dx $ - вроде должно быть все просто, но в стандартных книжках ничего не нашел.

И не найдете. Потому что смысла у написанного Вами выражения нету.

Да, наверно в этом есть проблема))

[Dan B-Yallay]

$$f'(x)=\int_0^x f''(s)ds+C_0=\int_0^x f''(s)ds+f'(0)$$

$$f(x)=\int_0^x f'(w)dw +f(0)=\int_0^x \Big( \int_0^w f''(s)ds+f'(0)\Big)dw+f(0)$$

[shuchers]

Это понятно. $ \int_0^w f''(s)ds$ - не берется аналитически.

[Алексей К.]

Так Вы вроде сразу не отказывались численно считать.

[shuchers]

так я и спрашиваю какой хороший численный метод для вот этой части:
$\int_0^x \Big( \int_0^w f''(s)ds+f'(0)\Big)dw$

[Алексей К.]

Заметьте также, что если Вы нашли какой-то вариант $(f_1,f_2)$, то вариант $(f_1+C,f_2+C)$ тоже вполне годится: всем Вашим условиям удовлетворяет.

[shuchers]

Алексей К. в сообщении #482805 писал(а):

Заметьте также, что если Вы нашли какой-то вариант $(f_1,f_2)$, то вариант $(f_1+C,f_2+C)$ тоже вполне годится: всем Вашим условиям удовлетворяет.

Нет. Наверно там не подробно написал. В общем можно положить $(f_1,f_2)$ известны в точке $x_0$

[Алексей К.]

shuchers в сообщении #482803 писал(а):

так я и спрашиваю какой хороший численный метод для вот этой части

Да любой метод сгодится.
У Вас от первого интегрирования получилась как бы таблично заданная функция.
Но и первую, $f''$, Вы тоже в дискретных точках считали.
Спец. методов для повторного интегрирования и не припомню.

[Klad33]

shuchers в сообщении #482791 писал(а):

опишу полностью задачу.
есть условия:
$f_1(x_0) = f_2(x_0); \quad f_1'(x_0) = f_2'(x_0); $
$f_1''(x), f_2''(x) $ - известны аналитически
Нужно найти $ f_1, f_2 $ при условии некоторой оптимизации.
Т. е. условие с первой производной запишется в виде
$\int_a^{x_0} f_1''(x)dx + C_1 =\int_a^{x_0} f_2''(x)dx + C_2 $,
Нужно найти $C_2$ перебирая $C_1$.
Так как мы перебираем то непринципиально как выбирать a?
Ну и далее зная $C_2$ и $C_1$ нужно найти соответствующие константы из первого условия.

Мне непонятно вот что: если Вы берете определенный интеграл со второй производной, то это будет уже не первая производная функции. Ведь по логике следует брать неопределенный интеграл. Неопределенный интеграл от последнего выражения даст Вам исходную функцию от переменной x. Тогда у Вас будет 4 постоянные, а не 2. В этом случае будет полная логика. А дальше следует уже думать, что и как оптимизировать. Никакими двойными интегралами тут не пахнет.

[shuchers]

Алексей К. в сообщении #482807 писал(а):

shuchers в сообщении #482803 писал(а):

так я и спрашиваю какой хороший численный метод для вот этой части

Спец. методов для повторного интегрирования и не припомню.

Вот!

-- Ср сен 14, 2011 00:07:48 --

Klad33 в сообщении #482808 писал(а):

Мне непонятно вот что: если Вы берете определенный интеграл со второй производной, то это будет уже не первая производная функции. Ведь по логике следует брать неопределенный интеграл. Неопределенный интеграл от последнего выражения даст Вам исходную функцию от переменной x. Тогда у Вас будет 4 постоянные, а не 2. В этом случае будет полная логика. А дальше следует уже думать, что и как оптимизировать. Никакими двойными интегралами тут не пахнет.

Ну да там всего 4 постоянные. Извиняюсь. Надо было подробней написать.

[Алексей К.]

Похоже, автор малость перемудрил со всякими условиями. Проблема лишь в реализации повторного интегрирования функции, что он по ошибке обозвал двойным интегралом.