Дробно-линейные преобразования - неподвижные точки

[PSP]

Пусть имеются 2-х мерные дробно-линейные преобразования :

$$ x_1=\frac {a_{11}x + b_{11}y+c_{11}} {a_{12}x + b_{12}y+c_{12}} $$

$$ y_1=\frac {a_{21}x + b_{21}y+c_{21}} {a_{22}x + b_{22}y+c_{22}} $$

Нужно найти неподвижные точки этих преобразований, т.е. решить систему :

$$ x=\frac {a_{11}x + b_{11}y+c_{11}} {a_{12}x + b_{12}y+c_{12}} $$

$$ y=\frac {a_{21}x + b_{21}y+c_{21}} {a_{22}x + b_{22}y+c_{22}} $$

Maple утверждает, что имеется бесконечное количество таких точек.Я пока не смог понять,имеются ли ввиду у Maple и комплексные решения ,но что имеется счётное и бескнечное множество решений - я понял.Но не могу поверить...
Кто нибудь сможет мне помочь понять ?

[Oleg Zubelevich]

Выберете коэффициенты так, чтоб числители обеих дробей были равны нулю. Ну и как, сколько решен й получилось? А бесконечно много решений будет только в вырожденных случаях, идем изучать кривые второго порядка

[PSP]

Oleg Zubelevich в сообщении #482567 писал(а):

Выберете коэффициенты так, чтоб числители обеих дробей были равны нулю. Ну и как, сколько решен й получилось? А бесконечно много решений будет только в вырожденных случаях, идем изучать теорему о неявной функции и чиать Курс высшей алгебры Куроша об искдючении неизвестного из системы многочленов.

Мне ведь нужно знать все случаи, в том числе и вырожденные.И где об этом можно прочитать ?
(А потом ещё предстоит рассмотреть и 3-х мерные и 4-х мерные преобразования...)

[Oleg Zubelevich]

где почитать про квадратичные функции?

[Алексей К.]

PSP в сообщении #482563 писал(а):

Maple утверждает, что имеется бесконечное количество таких точек.

Я пока не удосужился посмотреть, как в Мапле выглядит это утверждение, но тот факт, что Вы не позаботились о хоть какой-то нормировке коэффициентов в знаменателях, весьма подозрителен. Не от того ли эти "бесконечные количества"?

Взяв для простоты $a_{12}=1$ и $a_{22}=1$, Вы потеряете мизерную часть из общего множества таких преобразований, но "бесконечность количеств", наверное, прояснится. А реально, если не найдётся хорошего нормировочного условия, надо, по-моему, отдельно рассматривать все комбинации (типа $\{a_{12}=1, a_{22}=0, c_{22}=?\}$ итп.).

Так, в стандартном дробно-линейном отображении $z\to\dfrac{az+b}{cz+d}$ условие $ad-bc\not=0$ могло бы быть использовано как нормировочное соотношение $ad-bc=1$. А у Вас... не знаю...

Ну и выбор различных знаменателей в двух рациональных выражениях весьма подозрителен. В том смысле, что нигде мне до сих пор такое не попадалось.

[PSP]

Ну,такие преобразования рассмвтривались.Вроде Альфорсм или Фуксом, не помню.Помню только, что они образуют группу.
Насчёт нормировки согласен, но никак не приходит в голову, как её ввести...

[alcoholist]

давайте смотреть глобально: есть (дробно-линейное) отображение $A:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$

Вы хотите найти решение уравнения $(A-{\rm Id})r=0$

Если начало координат не является критическим значением отображения $A-{\rm Id}$, то прообраз дискретен, т.е. множество неподвижных точек -- дискретно

Считайте свои якобианы:)

[мат-ламер]

Бесконечное число неподвижных точек будет, если первое и второе уравнение задают одно и тоже множество, т.е. оба уравнения тождественны с точностью до одинаковых множителей в числителе и знаменателе. Получается система двух уравнений второго порядка. Как решать такие системы и сколько получается корней - см. школьный учебник алгебры (например, Виленкин). Утверждается, что в общем случае четыре решения. Метод решения - из первого уравнения вычитается второе, умноженное на некоторый коэффициент, так чтобы в результате получится однородное уравнение ...

[ИСН]

PSP в сообщении #482577 писал(а):

Помню только, что они образуют группу.

Если одинаковый знаменатель! А если нет, то прямой проверкой легко убедиться, что хрен там ночевал.

[alcoholist]

ИСН в сообщении #482606 писал(а):

А если нет, то прямой проверкой легко убедиться, что хрен там ночевал.

образуют-образуют... $SL_2(\mathbb{R})/\{\pm 1\}$

[ИСН]

Вы о чём-то другом говорите, похоже. Означенную группу образуют дробно-линейные функции одной переменной. А тут - двух.

[Jnrty]

alcoholist в сообщении #482623 писал(а):

ИСН в сообщении #482606 писал(а):

А если нет, то прямой проверкой легко убедиться, что хрен там ночевал.

образуют-образуют... $SL_2(\mathbb{R})/\{\pm 1\}$

Проверьте прямым вычислением, что не образуют. Например, $x'=\frac{2x-y+3}{-x+4y-1},y'=\frac{-3x-y+5}{x+2y+4}$, $x''=\frac{2x'- y'+ 3}{-x'+ 4y'- 1},y''=\frac{-3x'- y'+ 5}{x'+2y'+4}$. Как тут выразятся $x''$ и $y''$ через $x$ и $y$? И для сравнения возьмите $x'=\frac{2x-y+3}{-x+4y-1},y'=\frac{-3x-y+5}{-x+4y-1}$, $x''=\frac{2x'- y'+ 3}{-x'+ 4y'- 1},y''=\frac{-3x'- y'+ 5}{-x'+ 4y'- 1}$.

[ИСН]

У первой и второй пары можно было сделать знаменатели разные. Главное, чтоб внутри каждой пары одинаковые. Тогда да. А иначе нет.

[ИгорЪ]

PSP
Подозреваю. что задача имеет физическую постановку, но вы её не говорите, а переводите на математичесий язык и уж как то очень неуклюже.

[PSP]

ИгорЪ в сообщении #482762 писал(а):

PSP
Подозреваю. что задача имеет физическую постановку, но вы её не говорите, а переводите на математичесий язык и уж как то очень неуклюже.

Какая проницательность!

(Оффтоп)

Пусть неуклюже,но хоть понятно.Надеюсь, господа достопочтённые математики меня извинят...

В соответствии с дискуссией задача уточняется :
Пусть имеются 2-х мерные дробно-линейные преобразования :

$$ x_1=\frac {a_{1}x + b_{1}y+c_{1}} {ax + by+c} $$

$$ y_1=\frac {a_{2}x + b_{2}y+c_{2}} {ax + by+c} $$

Нужно найти неподвижные точки этих преобразований, т.е. решить систему :

$$ x=\frac {a_{1}x + b_{1}y+c_{1}} {ax + by+c} $$

$$ y=\frac {a_{2}x + b_{2}y+c_{2}} {ax + by+c} $$

Maple опять утверждает, что имеется бесконечное количество таких точек.Мне в это не верится...
Ручное решение приводит к уравнению 4-й степени.Как будет в 3-х и 4-х мерном случае,непонятно.
Должен же быть какой-то общий метод решения...