Непрерывность

[Mikhail Sokolov]

Пусть $F$ - некоторое семейство непрерывных строго монотонно возрастающих функций $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, удовлетворяющее свойству:
(1) для любых $x_1<y_1$ и $x_2<y_2$ найдется $f\in F$, такая что $f(x_1)=x_2$ и $f(y_1)=y_2$.
Пусть функция $G(x,y)$ определена при $x < y$, не убывает по каждому из аргументов и удовлетворяет функциональному уравнению:
(2) $G(f(x),f(y)) = f(G(x,y))$ для любых $x<y$ и любого $f$ из $F$.

Вопрос: Следует ли из этого непрерывность функции $G$?
Например, несложно доказать, что при фиксированном $x$ функция $G_x(y)=G(x,y)$ непрерывна в области $y>x$. Аналогично, при фиксированном $y$ функция $G_y(x)=G(x,y)$ непрерывна в области $x<y$.

Есть также следующие рассуждения, но они мне чем-то не нравяться (по-мойму, в них ошибка).
Пусть последовательность пар чисел $(x_k,y_k)$, где $x_k<y_k$, имеет предел $(x,y)$, $x<y$, при $k\to \infty$. В силу (1) существует соответствующая последовательность функций $f_k$ из $F$, таких что $f_k(x)=x_k$, $f_k(y)=y_k$.
Пусть $f$ произвольная функция из $F$, такая что $f(x)=x$, $f(y)=y$.
Тогда
$G(x_k,y_k)=G(f_k(x),f_k(y))=f_k(G(x,y))\to f(G(x,y))=G(f(x),f(y))=G(x,y)$.
Однако, что-то меня в этих рассуждениях смущает...

Буду признателен за любую помощь.

P.S. Пожалуйста, не судите строго, первый раз с тегом \Math имею дело... В частности, почему-то часть переменных получилась жирными (вообще, жирные и не жирные - это одни и те же переменные и функции).

[RIP]

Mikhail Sokolov писал(а):

Тогда
$ G(x_k,y_k)=G(f_k(x),f_k(y))=f_k(G(x,y))\to $
$ \to f(G(x,y))=G(f(x),f(y))=G(x,y) $.

Мне непонятен переход $f_k(G(x,y))\to f(G(x,y))$

Утверждение верно. Могу предложить такое док-во. Как Вы верно заметили, легко доказать непрерывность $G(x,y)$ по каждой переменной. Известно следующее утверждение:

Пусть $f\colon[a;b]\times[c;d]\to\mathbb{R}$ непрерывна по каждой переменной. Тогда найдется точка $(x_0,y_0)\in(a;b)\times(c;d)$, в которой фунция $f$ непрерывна по совокупности переменных.


Возьмем такую точку $(x_0,y_0)$ для функции $G(x,y)$. Возьмем теперь любые $x_1<y_1$. Найдется такая $f\in F$, что $f(x_1)=x_0,f(y_1)=y_0$. Поскольку $G(x,y)=f^{-1}(G(f(x),f(y)))$, то из непрерывности функции $G$ в точке $(x_0,y_0)$ следует непрерывность этой же функции в точке $(x_1,y_1)$.

[Mikhail Sokolov]

Да, меня этот переход тоже смущал. А доказательство красивое, спасибо!