2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Непрерывность
Сообщение10.01.2007, 17:21 


10/01/07
285
Санкт-Петербург
Пусть $F$ - некоторое семейство непрерывных строго монотонно возрастающих функций $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, удовлетворяющее свойству:
(1) для любых $x_1<y_1$ и $x_2<y_2$ найдется $f\in F$, такая что $f(x_1)=x_2$ и $f(y_1)=y_2$.
Пусть функция $G(x,y)$ определена при $x < y$, не убывает по каждому из аргументов и удовлетворяет функциональному уравнению:
(2) $G(f(x),f(y)) = f(G(x,y))$ для любых $x<y$ и любого $f$ из $F$.

Вопрос: Следует ли из этого непрерывность функции $G$?
Например, несложно доказать, что при фиксированном $x$ функция $G_x(y)=G(x,y)$ непрерывна в области $y>x$. Аналогично, при фиксированном $y$ функция $G_y(x)=G(x,y)$ непрерывна в области $x<y$.

Есть также следующие рассуждения, но они мне чем-то не нравяться (по-мойму, в них ошибка).
Пусть последовательность пар чисел $(x_k,y_k)$, где $x_k<y_k$, имеет предел $(x,y)$, $x<y$, при $k\to \infty$. В силу (1) существует соответствующая последовательность функций $f_k$ из $F$, таких что $f_k(x)=x_k$, $f_k(y)=y_k$.
Пусть $f$ произвольная функция из $F$, такая что $f(x)=x$, $f(y)=y$.
Тогда
$G(x_k,y_k)=G(f_k(x),f_k(y))=f_k(G(x,y))\to f(G(x,y))=G(f(x),f(y))=G(x,y)$.
Однако, что-то меня в этих рассуждениях смущает...

Буду признателен за любую помощь.

P.S. Пожалуйста, не судите строго, первый раз с тегом \Math имею дело... В частности, почему-то часть переменных получилась жирными (вообще, жирные и не жирные - это одни и те же переменные и функции).

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность
Сообщение10.01.2007, 19:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Mikhail Sokolov писал(а):
Тогда
$ G(x_k,y_k)=G(f_k(x),f_k(y))=f_k(G(x,y))\to $
$ \to f(G(x,y))=G(f(x),f(y))=G(x,y) $.

Мне непонятен переход $f_k(G(x,y))\to f(G(x,y))$ :?

Утверждение верно. Могу предложить такое док-во. Как Вы верно заметили, легко доказать непрерывность $G(x,y)$ по каждой переменной. Известно следующее утверждение:

Пусть $f\colon[a;b]\times[c;d]\to\mathbb{R}$ непрерывна по каждой переменной. Тогда найдется точка $(x_0,y_0)\in(a;b)\times(c;d)$, в которой фунция $f$ непрерывна по совокупности переменных.


Возьмем такую точку $(x_0,y_0)$ для функции $G(x,y)$. Возьмем теперь любые $x_1<y_1$. Найдется такая $f\in F$, что $f(x_1)=x_0,f(y_1)=y_0$. Поскольку $G(x,y)=f^{-1}(G(f(x),f(y)))$, то из непрерывности функции $G$ в точке $(x_0,y_0)$ следует непрерывность этой же функции в точке $(x_1,y_1)$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.01.2007, 20:08 


10/01/07
285
Санкт-Петербург
Да, меня этот переход тоже смущал. А доказательство красивое, спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group