Смена переменной интегрирования (интеграл по контуру)

[Nimza]

Поймал себя на том, что не умею делать такие вот смены переменных в интегралах:

$\int\limits_{\Gamma} f(z) dz = \int\limits_{\Gamma} f(z(x)) iz(x)dx, \; z \in \mathbb{C}, x \in \mathbb{R}^2,$

где $z = x_{1} + i x_{2}$, dx --- мера Лебега на кривой $\Gamma$. Вопрос в том, как получилось $dz = izdx$?

[мат-ламер]

Nimza в сообщении #482245 писал(а):

Поймал себя на том, что не умею делать такие вот смены переменных в интегралах:

$\int\limits_{\Gamma} f(z) dz = \int\limits_{\Gamma} f(z(x)) iz(x)dx, \; z \in \mathbb{C}, x \in \mathbb{R}^2,$

где $z = x_{1} + i x_{2}$, dx --- мера Лебега на кривой $\Gamma$.

У Вас $x$ - одномерный или двухмерный?

[Nimza]

двумерный

[мат-ламер]

А интегралы какого типа? Левый - это интеграл по контуру. А правый - какого типа?

[Nimza]

Интеграл Лебега. Слева же интеграл Римана (В том смысле, что разбивается область определения).

Пример:

$\int\limits_{|z| = 1, z \in \mathbb{C}} \frac{1}{z} dz = \int\limits_{\mathbb{S}^1} \frac{1}{z} iz dx = 2\pi i$

[мат-ламер]

По-видимому у Вас $x$ всё-же одномерный и справа тоже интеграл по контуру. Обычно, что-бы не было путаницы вместо $x$ используют переменную $t$, которая является параметром, по которому параметризуется контур. Прочтите определение комплексного интеграла (например, у Шабата).

[Nimza]

x точно двумерный. В моей литературе используется переход от множества $|z| = 1, z \in \mathbb{C}$ к единичной окружности $\mathbb{S}^1 \subset \mathbb{R}^{2}$, причём под интегралом используются обе компоненты $x_{1},x_{2}$. Причём явно сказано, что $dx$ это мера Лебега на окружности.

[мат-ламер]

Для начала напишите уравнение единичной окружности в комплесной области в параметрическом виде.

[Nimza]

$z(t) = e^{it}, t \in [0,2\pi)$

[мат-ламер]

Теперь Вы можете взять от этого выражения дифференциал. Далее подставляйте это выражение, умноженное на его дифференциал, в первый интеграл. У Вас будет одномерный интеграл по параметру $t$.

[Nimza]

Спасибо, получается нужен был этот дополнительный шаг. Только вот тогда возник вопрос, как перейти от интеграла по $[0,2\pi)$ к интегралу по $\mathbb{S}^1$, как вычислять якобиан перехода? Тут-то понятно, что это 1.

[мат-ламер]

Nimza в сообщении #482332 писал(а):

Спасибо, получается нужен был этот дополнительный шаг. Только вот тогда возник вопрос, как перейти от интеграла по $[0,2\pi)$ к интегралу по $\mathbb{S}^1$, как вычислять якобиан перехода? Тут-то понятно, что это 1.

Это я не знаю, и подозреваю, что это не нужно (не уверен).