Наверное здесь только так: берем определители

и раскладываем их по последнему столбцу - получается система линейных уравнений относительно

с треугольной матрицей. Значит она имеет одно решение: каждое

выражается линейной функцией от

. И теперь остается разложить

по столбцу

и подставить туда выражения для

. Полученное рекуррентное соотношение будет иметь довольно устрашающий вид. Вам нужно его найти в явном виде? Если же только в общем, то получается рекуррентность вида

- это уже не линейное рекуррентное уравнение конечного порядка, хотя и такие бывают.
Таким способом нашел формулы для

:

