Определитель, составить рекуррентное соотношение

[Leox]

Рассмотрим определитель вида

$$ D_n:=\begin{vmatrix} a_{1,1} &0 &0 & .....&0 & b_1\\ a_{2,1} &a_{2,2} &0 & .....&0 & b_2 \\ .... &.... &... & ..... & ....&.... \\ a_{n-2,1} &a_{n-2,2} &a_{n-2,3} & .....&0 & b_{n-2}\\ a_{n-1,1} &a_{n-1,2} &a_{n-1,3} & .....&a_{n-1,n-1} & b_{n-1}\\ a_{n,1} &a_{n,2} &a_{n,3} & .....&a_{n,n-1} & b_n \end{vmatrix} $$

Определитель образован из определителя нижнетреугольной матрицы очевидной заменой последнего столбца (как в правиле Крамера).

Вопрос. Нужно найти реккурентное соотношение для последовательности $D_n.$

[Sonic86]

Наверное здесь только так: берем определители $D_1,...,D_n$ и раскладываем их по последнему столбцу - получается система линейных уравнений относительно $b_j$ с треугольной матрицей. Значит она имеет одно решение: каждое $b_j$ выражается линейной функцией от $D_1,...,D_j$. И теперь остается разложить $D_n$ по столбцу $b_j$ и подставить туда выражения для $b_j$. Полученное рекуррентное соотношение будет иметь довольно устрашающий вид. Вам нужно его найти в явном виде? Если же только в общем, то получается рекуррентность вида $D_n = F(D_{n-1},...,D_1)$ - это уже не линейное рекуррентное уравнение конечного порядка, хотя и такие бывают.
Таким способом нашел формулы для $D_2,D_3$:
$D_2=a_{1,1}b_2-a_{2,1}D_1$
$D_3=a_{1,1}a_{2,2}b_3-a_{3,2}D_2-a_{3,1}a_{2,2}D_1$

[Leox]

Спасибо за идею, попробуем.