Критерия Коши сходимости ряда.

[Whitaker]

Здравствуйте!
Пользуяюсь критерием Коши доказать сходимость ряда.
$a_0+\dfrac{a_1}{10}+...+\dfrac{a_n}{10^n}+....=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{a_{n-1}}{10^{n-1}}$.
Критерий Коши сходимости звучит так: Для сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}p_n$ необходимо и достаточно, чтобы для всякого $\varepsilon>0$ нашелся номер $N_{0}(\varepsilon)$, чтобы для всякого натурального $n>N_{0}(\varepsilon)$ и $p$ выполнялось неравенство: $|S_{n+p}-S_{n}|=\Big|\sum\limits_{k=n+1}^{n+1} p_{k} \Big|$.
Возьмём число $p=2n$ и рассмотрим разность:
$\Big|\sum\limits_{k=1}^{2n} \dfrac{a_{k-1}}{10^{k-1}}-\sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{a_{k-1}}{10^{k-1}} \Big|=\Big|\sum\limits_{k=n+1}^{2n} \dfrac{a_{k-1}}{10^{k-1}} \Big|=\Big|\dfrac{a_n}{10^n}+\dfrac{a_{n+1}}{10^{n+1}}...+\dfrac{a_{2n-1}}{10^{2n-1}} \Big|\leq \Big|\dfrac{a_n}{10^n} \Big|+\Big|\dfrac{a_{n+1}}{10^{n+1}}\Big|+...+\Big|\dfrac{a_{2n-1}}{10^{2n-1}} \Big|<10 \Big(\dfrac{1}{10^n}+\dfrac{1}{10^{n+1}}...+\dfrac{1}{10^{2n-1}} \Big)=10 \cdot \dfrac{1}{10^n}\cdot \dfrac{1-10^{-n}}{1-\dfrac{1}{10}}=\dfrac{10^2}{9}\cdot\dfrac{1}{10^n}\cdot \Big(1-\dfrac{1}{10^n} \Big)<\dfrac{1}{9 \cdot 10^{n-2}}<\varepsilon$
при
$n>\lg\dfrac{100}{9\varepsilon}$
В качестве $N_{0}(\varepsilon)$ можно взять $\Big[\lg\dfrac{100}{9\varepsilon} \Big]$.
Скажите правильно ли я сделал?
У меня еще такой вопрос: Но ведь при $\varepsilon >\dfrac{100}{9} $ число $N_{0}(\varepsilon)$ можеть быть отрицательным. Что тогда делать в этом случае?

[Dan B-Yallay]

Нет неправильно. Начинать нужно не с "возьмем $p=2n$" а с "пусть дано $\varepsilon >0$"

[Whitaker]

Ну зафиксировали $\varepsilon>0$ и дальше как в предыдущем посте. Я правильно говорю?

[Dan B-Yallay]

Нет. Дальше нужно предьявить $N_0(\varepsilon)$ такое, чтобы для любого $p$ и далее по определению.

[Whitaker]

А как его искать то?

[Dan B-Yallay]

А Вы подумайте

[Whitaker]

$\Big|\sum\limits_{k=1}^{n+p} \dfrac{a_{k-1}}{10^{k-1}}-\sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{a_{k-1}}{10^{k-1}} \Big|=\Big|\sum\limits_{k=n+1}^{n+p} \dfrac{a_{k-1}}{10^{k-1}} \Big|=\Big|\dfrac{a_n}{10^n}+\dfrac{a_{n+1}}{10^{n+1}}...+\dfrac{a_{n+p-1}}{10^{n+p-1}} \Big|\leq \Big|\dfrac{a_n}{10^n} \Big|+\Big|\dfrac{a_{n+1}}{10^{n+1}}\Big|+...+\Big|\dfrac{a_{n+p-1}}{10^{n+p-1}} \Big|<10 \Big(\dfrac{1}{10^n}+\dfrac{1}{10^{n+1}}...+\dfrac{1}{10^{n+p-1}} \Big)=10 \cdot \dfrac{1}{10^n}\cdot \dfrac{1-10^{-p}}{1-\dfrac{1}{10}}=\dfrac{10^2}{9}\cdot\dfrac{1}{10^n}\cdot \Big(1-\dfrac{1}{10^p} \Big)<\dfrac{1}{9 \cdot 10^{n-2}}$
А теперь, уважаемый Dan B-Yallay?

[Dan B-Yallay]

Вроде правильно. Теперь нужно чтобы все это было меньше епсилон.

[Whitaker]

Это будет меньше чем епсилон при $n>\lg\dfrac{100}{9\varepsilon}$

-- Сб сен 10, 2011 10:08:13 --

В качестве $N_0({\varepsilon})$ можно взять $\Big[\lg\dfrac{100}{9\varepsilon} \Big] $

-- Сб сен 10, 2011 10:09:02 --

Правильно, уважаемый Dan B-Yallay?

-- Сб сен 10, 2011 10:33:03 --

Например при $\varepsilon=\dfrac{10000}{9}$ число $N_{0}(\varepsilon)$ будет отрицательным. Что можете сказать по этому поводу, уважаемый Dan B-Yallay?

[gris]

Whitaker, приведённая Вами формулировка признака Коши плоха. В ней $N_0(\varepsilon)$ названо "номером", что накладывает на него обязанность быть натуральным, а это вовсе ни к чему. Отрицательнось этого числа указывает лишь на то, что неравенство частичных сумм для данного эпсилон начинает выполняться с самого начала ряда.

[Whitaker]

gris в сообщении #482043 писал(а):

Whitaker, приведённая Вами формулировка признака Коши плоха. В ней $N_0(\varepsilon)$ названо "номером", что накладывает на него обязанность быть натуральным, а это вовсе ни к чему. Отрицательнось этого числа указывает лишь на то, что указанное неравенство для данного эпсилон начинает выполняться с самого начала ряда.

Уважаемый gris если я Вас правильно понял, то $N_0(\varepsilon)$ может быть и не натуральным. Да?

[gris]

Совершенно верно. В формализованной формулировке ПК мы можем написать: $\forall \varepsilon > 0\, \exists N_0:\forall n, p \in \mathbb N: n>N_0 ...$
Зачем нужна натуральность $N_0$? Только для того, чтобы можно было своими словами сказать "существует номер, начиная с которого любые частичные суммы меньше эпсилон?" Но это уже художественное чтение. Да и просто при полученных отрицательных значениях считаем их равными нулю.

Кроме того, в условии Вашей задачи не сказано, что такое $a_n$. Телепатически можно догадаться, что это члены некоторой сходящейся последовательности. Ну а вдруг $a_n=10^n$? Рядок-то и разойдётся. Будьте всего лишь на эпсилон аккуратнее в формулировках, и счастье прыгнет к Вам в руки.

[Whitaker]

Спасибо вам gris!
Кстати забыл кое-что. В условии задачи есть такой пункт: $ |a_n|<10$

[gris]

Хотя, каюсь. Заглянул любопытства ради в Кудрявцева и Зорича и там это называтся номером или натуральным числом. В печку их! Что, конечно, вовсе не отменяет. Ну при расчётах полагаем номер равным 1, если для него вдруг получилось отрицательное значение. Ведь единичка всяко больше любого отрицательного числа.

[Whitaker]

Так получается, что $N_0(\varepsilon)$ должно быть натуральным?
Если он должен быть натуральным, а у меня при при каком-то епсилон он отрицателен, что тогда? Очень интересует этот вопрос.