Критерия Коши сходимости ряда.

[gris]

У Вас он не отрицателен. В результате расчётов получается не равенство, а неравенство. Предположим, что у Вас получается условие $N_0 >- 28$. Раз мы говорим, что $N_0\in \mathbb N$, то полагаем, что $N_0=1$. Ну нет меньших натуральных чисел, что поделаешь. Вот если бы у нас получалось условие $N_0 < -12$, тогда караул.
Просто принадлежность к натуральным числам излишня, раз она порождает подобные вопросы.

Впрочем, при наlлежащей аккуратности и отрицательный результат можно трактовать. Если ряд можно экстраполировать назад по нашей формуле при известных оговорках, то получится, что для данного эпсилон неравенство выпоkняется и для гипотетических членов ряда с отрицательными номерами. Это может быть ряд $4\cdot 10000 +3\cdot 1000 +2\cdot 100 +6\cdot 10 +3+4\cdot 0.1 +4\cdot 0.01+...$

[Whitaker]

Например при $\varepsilon=\dfrac{10000}{9}$ число $N_0(\varepsilon)=\Big[\lg \dfrac{100}{9\varepsilon}\Big]=\Big[\lg \dfrac{100}{9\cdot \frac{10000}{9}}\Big]=\Big[\lg \dfrac{1}{100}\Big]=-2$. Мы вот по заданному епсилон нашли число $N_0(\varepsilon)$

-- Сб сен 10, 2011 13:19:15 --

Хотя да уважаемый gris.
Хорошо вы написали про ряд

-- Сб сен 10, 2011 13:20:09 --

Но ведь $n$ принимает только натуральные значения!

[gris]

Ну это условность. В случае с числовыми рядами рассмотрение отрицательных номеров не привносит ничего содержательного. Для конечного их количества вопрос решается простой перенумерацией. А бесконечный в обе стороны ряд можно разбить на два. Сравните с несобственными интегралами.
Но вот в функциональных рядах Лорана отрицательные номера членов уже несут некое новое содержание.

Учебный курс должен быть достаточно компактен и ясен, поэтому излишние обобщения ни к чему, тем более, если они не дают новых результатов. А в самостоятельных исследованиях Вы вполне можете рассматривать и теорию рядов в целыми номерами членов. Но де дойдите так до интеграла!

[ewert]

gris в сообщении #482052 писал(а):

Заглянул любопытства ради в Кудрявцева и Зорича и там это называтся номером или натуральным числом. В печку их!

Тогда вообще всех в печку, т.к. вообще все считают это натуральным. И естественно. Речь-то ведь фактически о последовательностях, т.е. о функциях, заданных на натуральном ряде. Накладывать же на натуральный аргумент ненатуральные ограничения -- было бы совсем не эстетично (независимо от формальной корректности).

[gris]

А цитировать зачёркнутое и вовсе неэстетично. Я просто не мог удержаться и привёл преображенские слова по схожести ситуаций.
Да речь не о том. Любознательные студенты часто хотят немного отступить от общепринятого изложения и посмотреть, что будет. Можно ли как-то трактовать, придать какой-то смысл. Нешто ругать за это.
Воистину просится ещё одна цитата: "Любителя бьют!"

[Whitaker]

ewert в сообщении #482181 писал(а):

gris в сообщении #482052 писал(а):

Заглянул любопытства ради в Кудрявцева и Зорича и там это называтся номером или натуральным числом. В печку их!

Тогда вообще всех в печку, т.к. вообще все считают это натуральным. И естественно. Речь-то ведь фактически о последовательностях, т.е. о функциях, заданных на натуральном ряде. Накладывать же на натуральный аргумент ненатуральные ограничения -- было бы совсем не эстетично (независимо от формальной корректности).

Уважаемый ewert! А если при некотором епсилон число $N_0$ получилось отрицательным. Наверное тогда в этом случае полагают, что $N_0(\varepsilon)=1$

[ewert]

Whitaker в сообщении #482196 писал(а):

А если при некотором епсилон число $N_0$ получилось отрицательным. Наверное тогда в этом случае полагают, что $N_0(\varepsilon)=1$

Если какое-то число годится в качестве границы, то тем более годится любое большее число.