Задача о четырёх мудрецах.

[anik]

У короля скончался мудрый советник, знающий логику и математику. Король устроил конкурс на замещение свободной должности. К королю пришли четыре претендента.
Условия конкурса таковы.
Вам наденут на голову колпак белого или чёрного цвета так, чтобы вы не видели его цвета, затем вас приведут в комнату, где вы будете видеть друг друга. Тот, кто даст правильный ответ о цвете своего колпака, будет принят на службу, а кто ошибётся, то будет казнён. При ответе: «не знаю», будет отпущен. Если догадаются несколько человек, то среди них будет проведён ещё один конкурс.
Один мудрец видит три чёрных колпака, но не знает какой колпак у него на голове.
Моё мнение таково, правильный ответ: задача не имеет решения.
Дополним условие задачи. В самом начале в комнату заглядывает шут и говорит: о, я вижу чёрный колпак, такой же, как есть у меня, и уходит.
Что при этом изменилось? Добавилась ли существенная информация, если шут сказал правду, и ему верят? Моё мнение таково, существенной для решения задачи информации не добавилось, задача по-прежнему не имеет решения.

Докажем, что слова шута несущественны в том смысле, что не дают новой информации для решения задачи.

Положим, для определённости, что у одного мудреца белый колпак, а у остальных черные.
Что думает тот мудрец А, у которого белый колпак? Он не знает цвет своего колпака и предполагает, что у него белый колпак. По мнению А, мудрец В1 видит один белый колпак (А) и два чёрных. По мнению А, мудрец В1 должен думать так: допустим у меня белый колпак, тогда В2 видит два (?)* белых колпака (А, В1?). Что должен думать теперь мудрец В2? В2, полагая что у него то-же белый колпак, придёт к варианту с тремя белыми колпаками (А, В1?, В2?) и одним чёрным (В3). Вот в этом случае слова шута стали бы существенны, и В3 сразу догадался бы, что у него чёрный колпак. Но мудрец В3 ни о чём не догадался именно потому, что в действительности видит не три белых колпака, а два чёрных (В1, В2) и один белый (А). Следовательно, мудрец В3 ни о чём не догадался потому, что слова шута в данном случае были несущественны, что и требовалось доказать.

*Если А не дурак, то он должен понимать, что В2 не может видеть два белых колпака, т.к. сам А видит три чёрных колпака. Белых колпаков может вообще не быть, или может быть только один на А. Поскольку мудрец В2 реально не видит два белых колпака, он не будет думать так, как ему полагалось бы думать по чьему-то там мнению.

[gris]

Что-то у Вас с условием. Может быть король объявил что-нибудь про цвет колпаков? А то на чём основывать рассуждения?
И в чём, собственно, вопрос? Какова цель мудрецов?

[anik]

С условиями у меня всё нормально, читайте внимательно.
"Вам наденут на голову колпак белого или чёрного цвета так, чтобы вы не видели его цвета, затем вас приведут в комнату, где вы будете видеть друг друга. Тот, кто даст правильный ответ о цвете своего колпака, будет принят на службу, а кто ошибётся, то будет казнён".
А цель мудрецов устроится на службу, пройдя конкурс.

[gris]

То есть могут быть наборы ЧЧЧЧ, ЧЧЧБ, ЧЧББ, ЧБББ, ББББ?
Или же объявляется, что не все колпаки одного цвета?

Вообще мудрецы могут договориться и провести как бы лотерею с возможным смертельным исходом и гарантированным поступлением одного из них на службу.

Тут ещё важна процедура. То есть король спрашивает каждого последовательно по своему выбору? Или они сами по желанию громко говорят? Или шепчут ему свою догадку на ушко?

[anik]

Условия задачи заданы: "Положим, для определённости, что у одного мудреца белый колпак, а у остальных черные".
Психологические аспекты не рассматриваются, т.е. мудрецы молчат и не передают никакой информации.
Процедура действительно важна, это мой недосмотр. Предполагается, что по прошествии некоторого времени в конце испытания, каждый мудрец отдельно докладывает королю о своём решении. Ответ, конечно, можно угадать, но дело не в этом, ответ нужно обосновать.

[gris]

Я бы так поставил вопрос в задаче: Какая минимальная информация должна быть публично сообщена мудрецам, что при любом варианте цвета колпаков один из мудрецов принял бы логически обоснованное решение. Либо описать варианты, при которых такое невозможно.
Например, если король ничего не говорит, вариант БЧЧЧ, а шут говорит: "О, вижу белый колпак!" Тут обладатель белого колпака, если не будет тормозить, сразу закричит: "У меня белый!" и кастинг закончится. Но он может коварно промолчать, и тогда один из его приятелей закричит: "Белый у меня!", ибо решит, что тот, кого он видит в белом колпаке, просто не может принять решение, так как тоже видит белый колпак. Торопыгу казнят, а дальше любой из оставшихся может выиграть скачки.

Но это моё, наверняка неправильное видение задачи.

[anik]

Во-первых: шут сказал, что видел чёрный колпак, при варианте, когда один мудрец был с белым колпаком, а остальные с чёрными. Не надо ничего выдумывать. Во-вторых: ничего кричать не разрешается, нужно наедине сообщить королю о своём решении в конце испытания, причём, обосновать своё решение. В-третьих: психологические аспекты и стратегии не рассматриваются.
Дело в том, что если задача не имеет решения, то это тоже решение задачи, если доказать, что она не имеет решения. Например, система трех линейных уравнений может иметь одно решение, множество решений или не иметь решения.

[arseniiv]

На самом деле, вы не довели условие задачи до конца. Неизвестно, что надо узнать.

[anik]

Вообще нужно доказать, что эта задача не имеет решения, в том смысле, что по этим данным нельзя вычислить цвет колпака.
Я все надеялся, что кто-нибудь отметит некоторую аналогию с задачей о голубоглазых. Основной вопрос заданный в этой задаче заключается в том, сообщил ли шут существенную информацию, способную помочь в решении задачи или не сообщил.

[gris]

Аналогии нет. Ведь вы требуете, чтобы за всё время испытания мудрецы никак не проявляли своих догадок. Значит они не могут учитывать действия или бездействие своих товарищей. У Вас условие не определено чётко, а без этого никакие решения невозможны, кроме отдельных случаев.

[anik]

Хорошо, давайте так.
Каждому мудрецу были выданы фишки, и было сказано: пусть каждый поставит перед собой столько фишек, сколько он видит чёрных колпаков. Это фишки видят все мудрецы.
Не нужно быть мудрецом, чтобы вычислить при таких условиях цвет своего колпака. Причём здесь тогда сообщение шута?

[gris]

С фишками, разумеется, задача решается. И шут не при чём. Как не при чём и задача о голубоглазых.

[anik]

Можно и без фишек.
Пусть мудрец сообщит о своём решении по истечении стольких часов (или дней, как в случае с голубоглазыми), сколько чёрных колпаков (голубоглазых) он видит. За точку отсчёта часов (дней) нужно принять сообщение шута (гостя).
Так, если житель острова видит 99 голубоглазых, то должен придти на площадь как голубоглазый на сотый день, а если житель видит 100 голубоглазых, то должен придти на площадь на сто первый день, как кареглазый.
Я не вижу существенной разницы между выкладыванием фишек или подсчётом количества дней от даты отсчёта. (Можно было бы и вслух сказать).
Пока, до завтра.

[anik]

Дополним условие конкурса.
Испытание началось в 12 часов дня. На всё испытание отпущено четыре часа. В комнате с мудрецами стоит телефон и часы. Как только мудрец догадается какого цвета у него колпак, он должен позвонить королю и сообщить своё решение, в течение того часа, как он узнал цвет своего колпака. Звонить можно ровно в час дня, два часа дня, три или четыре часа дня.
Теперь есть некоторая аналогия с задачей о голубоглазых?
На мой взгляд эта добавка ничего не меняет, задача всё равно не имеет решения.

[gris]

Вот теперь даже не аналогия, а она самая задача и есть.
Ведь участники реагируют и на действие, и на бездействие. Действие предполагается быть обязательным, коль скоро наступают условия для его осуществления. Вот это есть момент отличия от Ваших предыдущих версий.

Извините, слова про глаза мне эстетически претят ибо ассоциируются с лупоглазием и более того. Так что буду рассуждать в терминах колпаков.

При любом раскладе колпаков без шута ничего не происходит.

Если варианб БББЧ и шут произнес: "Вижу Ч", то единственный Ч, видя перед собой три Б, догадается, что именно он Ч, и пойдёт звонить.

Если варианб ББЧЧ и шут произнес: "Вижу Ч", то каждый из Ч начнёт рассуждать по схеме из задачи про глаза и, по прошествии часа не детектировав звонок своего одноцветника, бросится к телефону.

То же самое и для варианта БЧЧЧ.

В итоге все мудрецы узнают цвет своих колпаков. Тут надо основываться на предположении, что мудрецы постоянно и напряжённо думают о решении задачи, что у них и у нас одинаковая логика, что они способны в течении часа провести наши рассуждения.

Я бы даже для островитян вот что предложил. Провести массированные тренировки на колпаках. Вот может быть этот гость для этого и приезжал. То есть обучил их определённой схеме рассуждений, провёл публичные тренинги с различными по составу участников и вариантам раскраски колпаков, убедился, что метода работает, а, уезжая, подбросил свою фразу про глаза.