Неравенство теории чисел.

[Doil-byle]

Обозначим через $p_n $ n-e по порядку простое число. Нужно доказать, что $p_n\leqslant 2^{2^{n-1}}$
Я пробовал доказывать это утверждение по индукции. База индукции очевидна, предположим, что $p_n\leqslant 2^{2^{n-1}}$, теперь нужно доказать, что $p_{n+1}\leqslant 2^{2^n}= ({2^{2^{n-1}}})^2$. Далее, я рассуждал так: можно найти такое $i\leqslant n$, что $p_1p_2\cdot...\cdot p_{i-1}\leqslant2^{2^{n-1}}$, а $2^{2^{n-1}}\leqslant p_1p_2\cdot...\cdot p_i <({2^{2^{n-1}}})^2 $. Иначе, при $p_1p_2\cdot...\cdot p_{i-1} \le2^{2^{n-1}} $ и $p_1p_2\cdot...\cdot p_i \geqslant({2^{2^{n-1}}})^2$, $p_i\ge2^{2^{n-1}}$, а значит $ \ge p_n$ , что противоречит условию о том, что $i\leqslant n$. Задача будет решена, если показать, что число $p_1p_2\cdot...\cdot p_i +1$ простое, но сделать это не получается. (Если оно составное, то оно может иметь простой делитель больший $p_i$). Возможно мой путь и вовсе ошибочен. Буду благодарен помощи.

[ИСН]

Что Вы мелочитесь. Перемножьте их все.

[Doil-byle]

Да, конечно. $p_n\leqslant 2^{2^{n-1}}$, откуда $p_1p_2...p_n <(2^{2^{n-1}})^2$. Тогда рассмотрим число $p_1p_2...p_n+1$. Оно не делится ни на одно из чисел$p_1,p_2,...,p_n$, значит оно либо простое, меньшее $(2^{2^{n-1}})^2$ (легко показать) и задача решена, либо, если составное, имеет простой делитель, отличный от чисел $p_1,p_2,...,p_n$ и меньший $p_1p_2...p_n+1$, а значит и меньший $(2^{2^{n-1}})^2$, что и тр. д-ть (не наличие делителя, конечно, но он $(n+1)$-е простое число.
Да уж, я как-то тормознул и перепутал числа $p_1,p_2,...,p_n$ со всеми простыми делителями $2^{2^{n-1}}$, произведение которых больше $(2^{2^{n-1}})^2$, поэтому начал выдумывать заменяющий набор $p_1,p_2,...,p_i$. Спасибо.