Доказать, или показать на примере, что:

[Апис]

Интересная задача.
Если определение величины погрешности, при вычислении количества простых чисел на интервале
$\[\left( {1,p_{n + 1}^2} \right)\]$ $\[p_{n + 1}^2\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} - 1 + n\]$
Почти непреодолимая проблема, то для интервала
$\[\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)\]$ $\[p_{n + 1}^2\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} - p_n^2\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} + 1\]$
Величина погрешности, прямо зависит от определённой комбинации из чисел, которые являются вычетами между соседними простыми числами, вокруг числа P_(n+1) - вычеты в круглых скобках.
2 3 (2) 5 (2) 7 (4) 11 (2) 13 (4) 17 (2) 19 (4) 23 (6) 29 (2) 31 (6) 37 (4) 41 (2) 43 (4) 47 (6) 53 (6) 59 (2) 61 (6) 67 (4) 71 (2) 73 (6) 79 (4) 83 (6) 89 (8) 97 (4) 101 (2) 103 (4) 107 (2) 109 (4) 113 (14) {127 (4) 131 (6) 137 (2) 139 (10)}149 (2) 151 (6) 157 (6) 163 (4) 167 (6) 173 (6) 179 (2) 181 (10) {191 (2) 193 (4) 197 (2)} 199 (2) 211 (12) {223 (4) 227 (2) 229 (4) 233 (6)}239 (2) 241 (10) {251 (6) 257 (6) 263 (6) 269 (2) 271 (6) 277 (4)} 281 (2) 283 (10) 293 (14) 307 (4) 311 (2) 313 (4) 317 (14) 331 (6) 337 (10) 347 (2) 349 (4) 353 (6) 359 (8) 367 (6) 373 (6) 379 (4) 383 (6) 389 (8) 397 (4) 401 (8) 409 (10) 419 (2) 421 (10) 431 (2) 433 (6) 439 (4) 443 (6) 449 (8) 457 (4) 461 (2) 463 (4) 467 (12) 479 (8) 487 (4) 491 (8) 499 (4) 503 (6) 509 (12) 521 (2) 523 (18) 541 (6) 547 (10) 557 (6) 563 (6) 569 (2) 571 (6) 577 (10) 587 (6) 593 (6) 599 (2) 601 (6) 607 (6) 613 (4) 617
На схеме выделены, фигурными скобками, комбинации из вычетов дающие погрешность $\[E < \pm 1\]$
Простое число на схеме выделенное жирным шрифтом, это - $\[{p_{n + 1}}\]$ Малые значения$\[{p_{n + 1}}\]$ в начале числового ряда я не рассматривал, они почти все дают $\[E < \pm 1\]$
Комбинация вычетов интересная, во первых, равны суммы вычетов, вокруг $\[{p_{n + 1}}\]$Количество вычетов с левой стороны начинается с большого вычета. Количество вычетов ограничено, с левой стороны большим вычетом, с правой стороны сумма вычетов должна равняться сумме вычетов с левой стороны, вычет при простом числе P_(n+1) не учитывается. В этом просматривается некая закономерность, нужно определить все составляющие этой закономерности и доказать, что они всегда ведут к результату $\[E < \pm 1\]$При вычислении количества простых чисел на интервале$\[\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)\]$Согласитесь, это интересная задача

[Sonic86]

Апис в сообщении #477844 писал(а):

на интервале
$\[\left( {1,p_{n + 1}^2} \right)\]$ $\[p_{n + 1}^2\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} - 1 + n\]$

Это не интервал. интервалы обозначаются $(a,b)$, а не $(a,b)F$.

Апис в сообщении #477844 писал(а):

На схеме выделены, фигурными скобками, комбинации из вычетов дающие погрешность $\[E < \pm 1\]$

фигурных скобок не нашел

Апис в сообщении #477844 писал(а):

погрешность $\[E < \pm 1\]$

Это бессмысленная запись. Пишут либо $E<1$, либо $|a-b|<1$, либо $-1<a-b<1$.

Апис в сообщении #477844 писал(а):

вычеты в круглых скобках.

лучше используйте термин "разности", еще лучше обозначьте $d_k=p_k-p_{k-1}$ и пишите $d_k$. Если не знаете, что значит слово "вычет", не пишите его.

Апис в сообщении #477844 писал(а):

Комбинация вычетов интересная, во первых, равны суммы вычетов, вокруг $\[{p_{n + 1}}\]$

Проиллюстрируйте на примере, описание в тексте слишком мутное. Например, Вы выделили жирным $193$ и $263$, суммы разностей для каждого числа соответственно равны $2+4=6$ и $6+6=12$. И что, они равны что ли??

Апис в сообщении #477844 писал(а):

Количество вычетов с левой стороны начинается с большого вычета. Количество вычетов ограничено, с левой стороны большим вычетом, с правой стороны сумма вычетов должна равняться сумме вычетов с левой стороны, вычет при простом числе P_(n+1) не учитывается.

Проиллюстрируйте на примерах, если понимать это буквально, то это либо бессмысленно, либо неверно.

Апис в сообщении #477844 писал(а):

В этом просматривается некая закономерность, нужно определить все составляющие этой закономерности и доказать, что они всегда ведут к результату $\[E < \pm 1\]$При вычислении количества простых чисел на интервале$\[\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)\]$Согласитесь, это интересная задача

Нет, оценка погрешности сверху будет расти как $\frac{n}{\ln n}$. Чтобы убедится в этом, вычислите асимптотику обоих формул.

Перед тем как постить текст, перечитывайте то, что пишите.

Варианты перевода на русский язык:
$\pi (p_{n+1}^2)-\pi (p_n^2) \approx f(p_n;p_{n+1})$, где $f(p_n;p_{n+1}) = p_{n+1}^2 \prod\limits_{i=1}^n \left( 1- \frac{1}{p_i}\right) - p_n^2 \prod\limits_{i=1}^{n-1} \left( 1- \frac{1}{p_i}\right)+1$. Автор считает, что для всех $n$ $|\pi (p_{n+1}^2)-\pi (p_n^2) - f(p_n;p_{n+1}) | \leqslant 1$. С чего он это взял, непонятно. Наверное просто вычислил приближенно среднюю плотность простых на интервалах $(1;p_n^2), (1;p_{n+1}^2)$ исходя из решета Эратосфена, умножил на длины интервалов и вычел одну из другой. Вполне естественно ожидать, что неравенство неверно. Например, $f(37,41) \approx 41,745$, но $\pi (41^2)- \pi (37^2) = 44$. Рост точной верхней оценки погрешности $|\pi (p_{n+1}^2)-\pi (p_n^2) - f(p_n;p_{n+1}) |$ будет (хоть и медленно) возрастать неограниченно. Кроме того, если найти асимптотику $ f(p_n;p_{n+1})$, то там в качестве коэффициента вылезет $e^{- \gamma}$, а если найти асимптотику $\pi (p_{n+1}^2)-\pi (p_n^2)$, то буде рациональный коэффициент. А значит формула не точна даже асимптотически (а значит бесполезна для всех $n$).

[Апис]

Гладкие вычеты
Если три вычета между простыми числами $\[{p_{n - 1}} - {p_n} - {p_{n + 1}} - {p_{n + 2}}\]$ соответствуют условиям
а) все три вычета одинаковы
Для удобства такие вычеты назовём, гладкие вычеты. Почему гладкие вычеты? Потому что могут быть другие комбинации, например средний вычет равен сумме крайних вычетов. Гладкие вычеты не имеют пока общего определения.
Jump число – простое число следующее за самым большим вычетом на отрезке [1,x]

Требуется показать. Что систем, состоящих из Jump числа и следующих за ним гладких вычетов, бесконечно много. Или для начала, просто гладких вычетов бесконечно много.
Методы мат анализа верны для общих рассуждений, для малых интервалов применение методов мат анализа под вопросом. Например, гладкие вычеты, которые, правда, требуют расширенного толкования, напрямую связаны с погрешностью вычисления количества простых чисел на малых интервалах$\[\left( {p_n^2,{{\left( {{p_n} + 1} \right)}^2}} \right)\]$вычисляя по формуле$\[\left( {{{\left( {{p_n} + 1} \right)}^2} - p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} \]$
$\[2{p_n}\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} \]$погрешность вычисления напрямую зависит от вычета перед числом (P_n^2) и от соседних вычетов. О гладких вычетах говорить рано.
Докажите несостоятельность формулы (буду очень признателен)
$\[2{p_n}\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \right)} \]$для вычисления количества простых чисел на интервале$\[\left( {p_n^2,{{\left( {{p_n} + 1} \right)}^2}} \right)\]$Я же скажу. Погрешность вычисления по формуле, напрямую зависит от вычетов, и погрешность периодически меняет свой знак. По величине погрешности, пока ничего сказать не могу, это вы сейчас, по величине погрешности, приведёте данные, как пример несостоятельности формулы. А меня интересуют пока только гладкие вычеты. Потому что при помощи гладких вычетов, я укажу такие интервалы, для которых всегда погрешность вычисления будет меньше единицы.

[Апис]

Поиск системы в связях ..
На интервале $\[({p_{n + 1}},p_{n + 1}^2)\]$ на любом отрезке длинной $\[{p_{n + 1}}\]$ есть простое число.
То есть на интервале $\[\left( {p_n^2,\left( {p_n^2 + {p_{n + 1}}} \right)} \right)\]$ всегда есть хотя бы одно простое число
Вычисляя по формуле $\[{p_{n + 1}}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \]$ количество простых чисел на интервале $\[\left( {p_n^2,\left( {p_n^2 + {p_{n + 1}}} \right)} \right)\]$ Этот результат вычисления, то есть погрешность при вычислении, более тесно связана с тремя просто вычетами, чем предыдущая формула, для которой предположили связь, но только с гладкими вычетами. $\[{p_{n - 1}} - {p_n} - {p_{n + 1}} - {p_{n + 2}}\]$ Вот только объяснить эту запутанную связь трудно. Связь вычетов с погрешностью подчиняются какому-то закону. Вывести его трудно, столько комбинаций, неуловимое сочетание связей не поддаётся систематизированию. А система в связях вычетов и погрешности при вычислении, есть.

[venco]

Апис в сообщении #482464 писал(а):

На интервале $\[({p_{n + 1}},p_{n + 1}^2)\]$ на любом отрезке длинной $\[{p_{n + 1}}\]$ есть простое число.

Всю тему не читал. Вы это утверждение доказывали, или нашли эмпирически?

[Sonic86]

venco в сообщении #482476 писал(а):

Всю тему не читал. Вы это утверждение доказывали, или нашли эмпирически?

Конечно не доказывал. Да и неверно оно: интервал между $113$ и $127$ равен 14, в то время как $\sqrt{127} = 11 + \epsilon<12<14-1$. (это Батороев мне показал )
(большие пробелы между простыми здесь:
http://mathworld.wolfram.com/PrimeGaps.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_gap)
Есть 2 гипотезы о росте разрыва $d_n=p_n-p_{n-1}$: $d_n = O(n^{\frac{1}{2} + \epsilon})$ или $d_n = O(\ln ^2 n)$ (2-е утверждение как раз найдено эмпирически). Если верно 2-е, то утверждение ТС верно автоматически для $n>n_0$, если лишь 1-е - то утверждение ТС - это "разреженный" случай утверждения 1 на правом конце интервала.

[venco]

Sonic86 в сообщении #482506 писал(а):

venco в сообщении #482476 писал(а):

Всю тему не читал. Вы это утверждение доказывали, или нашли эмпирически?

Конечно не доказывал. Да и неверно оно: интервал между $113$ и $127$ равен 14, в то время как $\sqrt{127} = 11 + \epsilon<12<14$. (это Батороев мне показал )

Я этот интервал и имел в виду.

[serega57]

venco в сообщении #482509 писал(а):

Sonic86 в сообщении #482506 писал(а):

venco в сообщении #482476 писал(а):

Всю тему не читал. Вы это утверждение доказывали, или нашли эмпирически?

Конечно не доказывал. Да и неверно оно: интервал между $113$ и $127$ равен 14, в то время как $\sqrt{127} = 11 + \epsilon<12<14$. (это Батороев мне показал )

Я этот интервал и имел в виду.

Уважаемый "venco то что этот интервал указал Батороев так это пол беды. Но Вам я надеялся должно было бы известно что интервал 113 .....127.Есть исключение из правил.И как бы вам не показалось странным.но факт есть факт.Данный интервал есть самый большой промежуток с количеством подряд идущих простых чисел.Во всей вселенной при любом Вашем желании вы не когда, не найдёти интервала с количеством подряд идуших,
составных чисел больше чем 113...127. Если все интервалы рассматривать по отношеннию к квадратному корню.Этих чисел.

[serega57]

В тексте выше опечатка подряд идущих простых чисел . Следует читать составных чисел.

[Sonic86]

serega57 в сообщении #482759 писал(а):

Уважаемый "venco то что этот интервал указал Батороев так это пол беды. Но Вам я надеялся должно было бы известно что интервал 113 .....127.Есть исключение из правил.И как бы вам не показалось странным.но факт есть факт.Данный интервал есть самый большой промежуток с количеством подряд идущих простых чисел.Во всей вселенной при любом Вашем желании вы не когда, не найдёти интервала с количеством подряд идуших,
составных чисел больше чем 113...127. Если все интервалы рассматривать по отношеннию к квадратному корню.Этих чисел.

А без разницы. Надо утверждения формулировать так, чтобы было все аккуратно и точно На самом деле есть стандартная техника избегания подобных контрпримеров (Вы ее можете найти чуть выше, если сможете), а незнание этой техники - типичная безграмотность,

(Оффтоп)

голым залезть на стол,
покушаясь на божий престол

В любом случае ТС ничего интересного или нового не высказал.

[Апис]

Sonic86 в сообщении #482835 писал(а):

В любом случае ТС ничего интересного или нового не высказал.

На любом отрезке [a,b], величина которого равняется $\[[{p_n}]\]$ , находящегося в интервале $\[\left( {1,p_n^2} \right)\]$всегда есть простое число.
Доказательство:
Формула $\[\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \]$ на начальном отрезке $\[\left[ {1,\left( {{p_n} - 1} \right)} \right]\]$ воспринимает все числа как составные, так как при вычислении результата решета Эратосфена, все простые числа на отрезке $\[\left[ {1,\left( {{p_n} - 1} \right)} \right]\]$являются базовыми числами по своему базису, а при вычислении отнимается весь базис, в том числе и базисное число. Например, 2 является базисом для всех чисел кратным двум и для формулы двойка такое же составное число, как и все остальные числа, кратные двум.
Предположим, есть такой отрезок [a,b], величина которого равняется $\[[{p_n}]\]$ находящегося в интервале $\[\left( {1,p_n^2} \right)\]$ все числа на отрезке составные.
Далее, любой отрезок [a,b], можно представить, как начальный отрезок, как начало всех базисов, но с другим порядком расположения простых чисел. Это можно сделать следующим образом. Для этого на отрезке [a,b] начиная с числа (а) проводим последовательную факторизацию, как мы предположили всех составных чисел. Из полученного при факторизации ряда простых чисел, берём наименьшее простое число, считаем его, как за базисное, и от него идёт базис. Следующее составное число не входящее в предыдущий базис, опять же факторизация этого числа, далее берём наименьшее простое число и от него идёт базис. И так для всех составных чисел на отрезке [a,b]. На полученном, представленном как начальный, отрезке [a,b] будет обязательно место, которое должно занять число производное от кратного (P_n). Потому что величина отрезка равна P_n Но так как все множители для кратного (P_n), меньшие числа, чем число (P_n) входят в свои базисы, а большие числа чем число (P_n) невозможны. Так как ограничен интервал $\[\left( {1,p_n^2} \right)\]$ по величине. При большем числе, чем число (P_n) значение выйдет за рамки интервала.
Число на полученном, и представленном как начальный, отрезке [a,b], производное от кратного (P_n) невозможно. А на, представленном как начальный, отрезке [a,b] будет обязательно место, которое должно занять число производное от кратного (P_n). Отсюда:

Отрезок [a,b] представленный как начальный отрезок, но с другим порядком расположения простых (базисных) чисел, обязательно имеет разрыв в виде числа, которое не является базисным числом, которое не входит не в один из базисов предыдущих простых, базисных чисел. То есть отрезок [a,b] величина которого равняется $\[[{p_n}]\]$ находящегося в интервале $\[\left( {1,p_n^2} \right)\]$ всегда имеет разрыв в виде простого числа, всегда есть на отрезке простое число.
Что и требовалось доказать.

[Sonic86]

Апис в сообщении #483992 писал(а):

На любом отрезке [a,b], величина которого равняется $\[[{p_n}]\]$

$[p_n] \neq p_n$?
Вы опять не прочитали то, что написали? Зря, очень рекомендую, может быть бредовость текстов хоть немного уменьшится.

Апис в сообщении #483992 писал(а):

Формула $\[\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \]$ на начальном отрезке $\[\left[ {1,\left( {{p_n} - 1} \right)} \right]\]$ воспринимает все числа как составные, так как при вычислении результата решета Эратосфена, все простые числа на отрезке $\[\left[ {1,\left( {{p_n} - 1} \right)} \right]\]$являются базовыми числами по своему базису, а при вычислении отнимается весь базис, в том числе и базисное число. Например, 2 является базисом для всех чисел кратным двум и для формулы двойка такое же составное число, как и все остальные числа, кратные двум.

Вот этот кусок, в котором я могу 10 формальных ошибок указать, еще как-то можно понять, если считать, что базис - это множество чисел $\{ p_1,...,p_n\}$. Автор здесь хочет сказать, что если мы берем множество $\mathbb{Z}$ целых чисел и для всех $j=1,n$ убираем из $\mathbb{Z}$ числа, кратные $p_j$, то простые числа $p_1,...,p_n$ мы таким образом отсеем (их не будет в полученном множестве), а все остальные простые числа в полученном множестве останутся. Однако далее:

Апис в сообщении #483992 писал(а):

Для этого на отрезке [a,b] начиная с числа (а) проводим последовательную факторизацию, как мы предположили всех составных чисел. Из полученного при факторизации ряда простых чисел, берём наименьшее простое число, считаем его, как за базисное, и от него идёт базис.

Тут уже базис - нечто другое - это множество из нескольких простых чисел и каких именно - непонятно.

Пишите определение базиса.
И вообще, перечитайте этот свой супертекст и изложите его по-человечески. Попробуйте объяснить знакомому. Когда он Вас не поймет, подумайте, почему.

[Апис]

Где-то в предыдущем сообщении высказали претензии по поводу введённого мной термина (вычет), как разница между двумя соседними простыми числами
Вычет (перевод лат. residuum, буквально: остаток) в математике имеет несколько значений.
Вычет имеет несколько значений, почему мне нельзя ввести ещё одно? Тем более мой термин (вычет) не противоречит здравому смыслу. Из одного простого числа вычли другое простое число и получили остаток, вычет. Слово разность не очень благозвучно, (разности, несколько разностей, гладкие разности) согласитесь странное звучание.
Вернёмся к последнему сообщению, которое не все поняли, несколько изменю формулировку, что бы можно было привести частный пример, (и как всегда маленькая техническая ошибка, почему-то всегда на последнем этапе, при наборе текста сообщения, вношу изменения, которые приводят к ошибкам). На интервале (1,P_n^2) не может быть (вычета) равного или большего чем P_n. И изменение формулировки на интервале (P_(n-1)^2,P_n^2) не может быть (вычета) равного или большего чем P_n. Отсюда вычет своими частями не должен находиться в двух интервалах. Кстати этим и объясняется аномалия, о которой говорилось в предыдущих сообщениях. Например:
Возьмём в качестве частного примера вычет 127-113=14. P_n^2=169 P_n=13 (Для этого на отрезке [a,b] начиная с числа (а) проводим последовательную факторизацию. Из полученного, при факторизации, ряда простых чисел, берём наименьшее простое число) Этот вычет находиться частью на интервале (49,121) частью на интервале (121,169) -
114-2,3,19(2)
115-5,23 (5)
117-3,3,13(3)
119-7,17(7)
121-11.11(11)
Но основное заключение для интервала (P_(n-1)^2,P_n^2) остаётся в силе, а именно. На полученном, представленном как начальный, отрезке [a,b] будет обязательно место, которое должно занять число производное от кратного (P_n). Но это место не может быть занято. Потому что величина отрезка равна P_n . Но так как все множители для кратного (P_n), меньшие числа, чем число (P_n) входят в свои базисы, а большие числа чем число (P_n) невозможны. Так как ограничен интервал (P_(n-1)^2,P_n^2) по величине. При большем числе, чем число (P_n) значение выйдет за рамки интервала. Из приведённых, в скобках, простых чисел видно, что числа 13 нет. Если бы отрезок [a,b] находился полностью на интервале (P_(n-1)^2,P_n^2), этот отрезок составных чисел не может быть равным или больше чем P_n.
Или. На любом отрезке [a,b], величина которого , больше или равняется [P_n], находящегося в интервале (P_(n-1)^2,P_n^2) всегда есть простое число.

[Sonic86]

Мдя, ТС в последнем сообщении определение термина "базис" не привел (Ctrl-F гарантирует!).
Значит доказательства нету.

[Апис]

Например: 2 базисное числа, все числа кратные 2, которые делятся на 2, есть базис от 2.