Использование обобщенных функций для разделения переменных

[evgeniy]

Покажем, как приводится к простому виду уравнение, которое является частью угловой зависимости уравнения Лапласа
$\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial }{\partial \varphi_l}[\sqrt{g}g^{l1}\frac{\partial P(\varphi_1,\varphi_2)}{\partial \varphi_1}+ \sqrt{g}g^{l2}\frac{\partial P(\varphi_1,\varphi_2)}{\partial \varphi_2}]+\alpha^2 P=0,\eqno(2) $
Для этого введем функцию $\psi_l$ из уравнения, являющегося первой частью формулы (2)
$\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial }{\partial \varphi_l}=\frac{\partial }{\partial \psi_l},\eqno(3) $
Уравнение (3) эквивалентно уравнению (полагаем, что оператор действует на функцию $\psi_l $)
$\frac{\partial \psi_l}{\partial \varphi_l}=\sqrt{g},\eqno(4) $
Получим тоже соотношение другим способом. Дифференцируя произвольную функцию $h[\psi_l(\varphi_1,\varphi_2)]$ по функции $\varphi_l$, получим
$\frac{\partial h[\psi_1(\varphi_1,\varphi_2)]}{\partial \varphi_l}=\frac{\partial h[\psi_1(\varphi_1,\varphi_2)]}{\partial \psi_l}\frac{\partial \psi_1(\varphi_1,\varphi_2)}{\partial \varphi_l}\eqno(5) $
Подставляя величину $h[\psi_1(\varphi_1,\varphi_2)]$ в оператор (3), получим
$\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial h[\psi_1(\varphi_1,\varphi_2)]}{\partial \varphi_l}=\frac{\partial h[\psi_1(\varphi_1,\varphi_2)]}{\partial \psi_l},\eqno(6) $
используя (5) из (6) получим (4). Уравнение (4) непосредственно интегрируем, откуда получим
$\psi_l=\int_{\varphi_l^0}^{\varphi_l} \sqrt{g(\varphi_1,\varphi_2)}d\varphi_l$.
Запишем операторное уравнение, являющееся внутренней частью уравнения (2)
$\sqrt{g}g^{l1}\frac{\partial }{\partial \varphi_1}+\sqrt{g}g^{l2}\frac{\partial }{\partial \varphi_2}=\frac{\partial }{\partial u_l}\eqno(7) $
и допустим оператор (7) действует на функцию $u_l $, откуда получим дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка
$gg^{l1}\frac{\partial u_l}{\partial \varphi_1}+gg^{l2}\frac{\partial u_l}{\partial \varphi_2}=\sqrt{g},\eqno(8) $
Докажем это же, по-другому, допустим оператор (7) действует на функцию $h[u_l(\varphi_1,\varphi_2)] $, тогда получим
$\sqrt{g}g^{l1}\frac{\partial h[u_l(\varphi_1,\varphi_2)]}{\partial \varphi_1}+\sqrt{g}g^{l2}\frac{\partial h[u_l(\varphi_1,\varphi_2)]}{\partial \varphi_2}=\frac{\partial h[u_l(\varphi_1,\varphi_2)]}{\partial u_l}\eqno(9) $
при этом справедливо
$\frac{\partial h[u_l(\varphi_l,\varphi_2)]}{\partial \varphi_l}=\frac{\partial h[u_l(\varphi_1,\varphi_2)]}{\partial u_l}\frac{\partial u_l(\varphi_1,\varphi_2)}{\partial \varphi_l}$
значит, подставляя эти выражения в (9), получаем (8).
Итак, имеем уравнения в частных производных (8) относительно функции двух переменных $u_l=u_l(\varphi_1,\varphi_2) $.
Будем решать уравнение
$gg^{l1}\frac{\partial u_l-\psi_l}{\partial \varphi_1}+gg^{l2}\frac{\partial u_l-\psi_l}{\partial \varphi_2}=\sqrt{g},\eqno(10) $
Причем решение ищем в виде ряда Фурье, который всегда сходится в пространстве обобщенных функций
$u_l=\sum_{p,q=-\infty}^{\infty}a_{lpq}exp(ip\varphi_1+iq\varphi_2) $.
Подставляем эту функцию в дифференциальное уравнение (10), умножаем на величину $exp(-im\varphi_1-in\varphi_2) $ и проинтегрируем по углам. Получим уравнение
$\sum_{p,q=-\infty}^{\infty} A_{lmnpq}a_{lpq}=b_{lmn}\eqno(11) $
причем введены следующие обозначения
$A_{lmnpq}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2\pi}[gg^{l1}\frac{\partial }{\partial \varphi_1}+ gg^{l2}\frac{\partial }{\partial \varphi_2}]exp[i(p-m)\varphi_1+i(q-n)\varphi_2]d\varphi_1d\varphi_2$
$b_{lmn}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2\pi}[\sqrt{g}+gg^{l1}\frac{\partial }{\partial \varphi_1}+ gg^{l2}\frac{\partial }{\partial \varphi_2}]exp(-im\varphi_1-in\varphi_2]d\varphi_1d\varphi_2\eqno(12) $
При этом уравнение (2) приобретает вид
$\frac{\partial^2 P}{\partial \psi_l \partial (u_l-\psi_l)}+\alpha^2 P=0$
которое имеет решение
$P=exp[i\alpha(\psi_l+u_l-\psi_l)] $. Уравнение (2) имеет вид
$\frac{\partial^2 P}{\partial u_l^2}+\alpha^2 P=0$
Эти углы соответствуют угловой части метрического интервала
$ds^2=r^2(du_1^2+du_2^2) $
При этом эти углы не имеют физического смысла, так как не обладают касательной в каждой точке. Эти углы можно представить в виде
$u_l=\sum_{p,q=-\infty}^{\infty}c_{lpq}exp[ip(\varphi_1-\alpha_1)+iq(\varphi_2-alpha_2)],c_{lpq}=a_{lpq}exp(-ip\alpha_1-iq\alpha_2) $
Т.е. в каждой точке имеем сходящуюся к ней как к центру касательные линии, и значит, в каждой точке непрерывная касательная не существует. Это свойство обобщенных функций. Отметим, что в силу отсутствия непрерывной касательной, теорема Гаусса о сохранении кривизны в разных координатах к этим координатам-функциям не применима. При этом, так как углы $u_l,l=1,2$ являются обобщенными функциями, использовать их в формуле $exp(i\alpha u_1+i\beta u_2) $ нужно, представляя каждую функцию в виде ряда.

[Kallikanzarid]

Мне интересно, кто-нибудь на форуме поймет эту стену текста? :)

[shwedka]

Kallikanzarid в сообщении #480088 писал(а):

Мне интересно, кто-нибудь на форуме поймет эту стену текста? :)

Несколько месяцев назад аналогичный
бред топикстартер старательно развивал, не сумеев ответь ни на один вопрос.
Будучи прижатым (мною) к стенке замолчал. Теперь набрался сил, но смысла не добавилось.

-- Сб сен 03, 2011 22:36:52 --

evgeniy в сообщении #479894 писал(а):

При этом эти углы не имеют физического смысла, так как не обладают касательной в каждой точке.

1. Физический смысл иррелевантен.
Приведите цитаты, связывающую наличие или отсутствие касатальных с физическим смыслом.
2. Отсутствие касательных Вам придется доказать.
3. Вам придется самостоятельно вывести и доказать правила преобразования уравнений при негладких заменах переменных. Включая формулу полного дифференциала.
4. Покажите, как Ваш 'метод' работает для стандартной метрики на сфере, выписанной в сферических координатах

[evgeniy]

1. чтобы построить угол на кривой обязательно существование касательной
2. при таком построении решения каждая точка является полюсом, к вершине которого сходятся все касательные. Если точка не является полюсом, то каждая касательная имеет свое продолжение. В полюсе касательные не имеют продолжения. Угол $u_l$ можно представить таким образом, что каждая точка является полюсом, и значит касательные в каждой точке не определены.
3. Надо подумать, но думаю формулы не изменятся.
4. Доказательство существования функций-углов имеет общий характер, и для сферической системы координат не изменится, разве что сферическая система координат имеет в операторе Лапласа особенности, деление на синус. поэтому я использую не сферическую. а периодическую по всем углам систему координат, которая не имеет особенностей. Я Вам часто описывал свою периодическую систему координат.

[shwedka]

вернувшись из командировки, посмотрела. ответы не получены.

Существенное.
1. В литературе замены переменных в дифференциальных уравнениях, с распределениями в качестве заменяющих функций, нет. Постройте аккуратно такую теорию, а потом возвращайтесь.
2. У Вас противоречие. Вы одновремернно пишете"

Цитата:

во всех точках касательных нет

и

Цитата:

касательные закручиваются

Ни то, ни другое утверждение не доказаны.

[evgeniy]

Я снимаю свое сообщение, так как не могу навести математический лоск на понятные мне вещи. К сожалению, могу рассуждать только на таком уровне строгости, так как он недостаточен, эту тему закрываю.

[evgeniy]

Хочу показать, что существуют простые формулы, нарушающие теорему Гаусса о инвариантности кривизны.
Угловая часть уравнения Лапласа в сферической системе координат выглядит так
$\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial }{\partial \theta}\sin\theta\frac{\partial }{\partial \theta}+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 }{\partial \varphi^2}+\alpha^2+\beta^2=0$
Решаем первое операторное уравнение являющееся первой частью первого члена формулы
$\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial }{\partial \theta}=\frac{\partial }{\partial \psi}\eqno(1)$
оно сводится к дифференциальному уравнению
$\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=1\eqno(2)$
докажем это. Пусть операторное уравнение (1) действует на функцию $f[\psi(\theta,\varphi)]$
$\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial f[\psi(\theta,\varphi)]}{\partial \theta}=\frac{\partial f[\psi(\theta,\varphi)]}{\partial \psi}\eqno(3)$
Но справедливо равенство
$\frac{\partial f[\psi(\theta,\varphi)]}{\partial \theta}=\frac{\partial f[\psi(\theta,\varphi)]}{\partial \psi}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\eqno(4)$
Подставляя (4) в (3), получим (2), которое легко решается, получаем
$\psi=-\cos\theta$
аналогично решая вторую часть первого члена оператора лапласа, получим дифференциальное уравнение
$\sin\theta \frac{\partial z}{\partial \theta}=1$
откуда для величины z, получаем значение
$z=\ln\tg\theta/2$
Откуда для первого члена получаем уравнение
$\frac{\partial^2 U}{\partial \psi \partial z}+\alpha^2U=0$
откуда получаем решение
$U=\exp[i\alpha (\psi +z)]=\exp(i\alpha x)$
где величина x равна $x=\ln\tg\theta/2-\cos\theta$
или дифференциальное уравнение
$\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}+\alpha^2U=0$
Совершенно аналогично поступаем со вторым членом оператора Лапласа и приводим его к виду
$\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}+\beta^2V=0$
где определяемый параметр равен $y=\varphi (\sin^2\theta+1)$
итого получаем уравнение в частных производных
$\frac{\partial^2 Z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 Z}{\partial y^2}+\alpha^2 Z+\beta^2 Z=0$
Возможных причин, нарушающих теорему Гаусса о кривизне несколько. дело в том, что метрический интервал в сферической системе координат равен
$d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2 \ne dx^2+dy^2$
Во первых из ограниченной области получена бесконечная область. Во вторых из периодических координат, получены не периодические координаты. В третьих из приведенного уравнения Лапласа не следует равенство квадратичных форм.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #484684 писал(а):

Хочу показать, что существуют простые формулы, нарушающие теорему Гаусса о инвариантности кривизны.

Не показали

evgeniy в сообщении #484684 писал(а):

Совершенно аналогично поступаем со вторым членом оператора Лапласа и приводим его к виду
$\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}+\beta^2V=0$

А здесь-то как раз 'аналогично' и не получится.

Цитата:

итого получаем уравнение в частных производных

не получаете. Жульничаете в применении формулы замены переменной.

evgeniy в сообщении #484684 писал(а):

Возможных причин, нарушающих теорему Гаусса о кривизне несколько.

Причина одна: полное непонимание и ошибки автора.

Цитата:

Во первых из ограниченной области получена бесконечная область. Во вторых из периодических координат, получены не периодические координаты. В третьих из приведенного уравнения Лапласа не следует равенство квадратичных форм.

То, что первые два обстоятельства позволяют нарушить теорему Гаусса - Ваше безграмотное измышление. Прочитайте про теорему Гаусса в учебнике. Третье- бессмыслица.
Напишите Вашу 'замену' и проведите вычисления. Только не жульничайте с заменой переменных. Если не жульничать, то появятся смешанные производные.

[evgeniy]

обвинение в жульничестве безосновательно.Имеем операторное уравнение
$\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial }{\partial \varphi}=\frac{\partial }{\partial \tau}$
оно сводится к дифференциальному уравнению
$\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial \tau}{\partial \varphi}=1$
откуда для $\tau$ получаем следующее выражение
$\tau=\varphi \sin^2\theta$
следующую формулу приводить к простому виду не надо. она и так имеет простой вид.
значит переменная y равна $y=\varphi (\sin^2\theta+1)$
это преобразование координат справедливо только если решение экспонента. При разделении переменных решение ищется в виде экспоненты, поэтому это преобразование для этого случая справедливо. Формула
$\frac{\partial^2 U}{\partial (x+y)^2}=\frac{\partial^2 U}{\partial x \partial y}$
справедлива если только U является экспонентой. Т.е. это преобразование справедливо не для всех функций-решений, поэтому метрический интервал не сохраняется и теорема о инвариантности Гауссовой кривизны не применима к этому случаю.

[shwedka]

Цитата:

обвинение в жульничестве безосновательно.Имеем операторное уравнение
$\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial }{\partial \varphi}=\frac{\partial }{\partial \tau}$
оно сводится к дифференциальному уравнению
$\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial \tau}{\partial \varphi}=1$

Не сводится. Противоречит определению частных производных.
Если считаете, что сводится, приведите подробное рассуждение.

evgeniy в сообщении #484780 писал(а):

Т.е. это преобразование справедливо не для всех функций-решений,

Ах Вы так! Значит, Вы не преобразуете уравнение Лапласа на сфере!! А чем же Вы тогда хвалитесь?

[evgeniy]

Я уже проделывал это с первым членом. Имеем операторное уравнение
$\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial }{\partial \varphi}=\frac{\partial }{\partial \tau}\eqno(1)$
оно сводится к уравнению
$\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial \tau}{\partial \varphi}=1\eqno(2)$
докажем это, для чего подействуем оператором (1) на функцию $f[\tau(\theta,\varphi)]$
получим уравнение
$\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial f[\tau(\theta,\varphi)]}{\partial \varphi}=\frac{\partial f[\tau(\theta,\varphi)]}{\partial \tau}\eqno(3)$
справедливо равенство
$\frac{\partial f[\tau(\theta,\varphi)]}{\partial \varphi}=\frac{\partial f[\tau(\theta,\varphi)]}{\partial \tau}\frac{\partial \tau}{\partial \varphi}$
используя последнее равенство, из (3) получаем (2).
Да пожалуй это уравнение справедливо не на сфере, но получено в результате тождественных преобразований и уравнение имеет простой вид.

[shwedka]

Вы постоянно вводите новые буквы. Не уследить.

Все-таки,
Вы утверждаете, что заменой переменных привели стандартный Лапласиан на сфере к Евклидову Лапласиану, или нет? Если нет, то нечего обсуждать,
Если же считаете, что привели, то напишите явно выражения для новых переменных через старые, $\varphi, \theta$, или наоборот, так, чтобы все можно было проверить.

[evgeniy]

Обозначения старые, и новых букв я не ввожу. В результате вычислений получается декартов Лапласиан не на сфере,, так как преобразование справедливо только для определенного сорта решений. это не только экспонента. а решение вида $U(x+y)=U(\ln\tg\theta/2-\cos\theta)$ в случае первого члена и решение $V(u+v)= V[\varphi (\sin^2\theta+1)]$ в случае второго члена. Тогда $\frac{\partial^2 U(x+y)}{\partial (x+y)^2}=\frac{\partial^2 U(x+y)}{\partial x \partial y}$ и решение относительно этих координат представляется в декартовом виде. Это не общий вид решения, а его частное представление. Но в методе разделения переменных получается экспоненциальное представление решения. Это не глобальное преобразование для произвольного решения, а только для решения специального вида. В случае глобального представления для всех неизвестных функций U(x,y) решение было бы на сфере. И метрические интервалы этого преобразования не совпадают с метрическим интервалом сферической системы координат. Но для частного вида решения получается декартова запись Лапласиана.
Что значит нечего обсуждать. Предлагается для разделяющихся переменных декартов вид Лапласиана. а вы говорите нечего обсуждать. это пусть малый, но шаг к решению дифференциальных уравнений в частных производных. Дело в том, что пространственную часть (описана поверхностная часть решения) для произвольного тела с радиусом равным $w(\theta,\varphi)$ можно свести к сфере, но это отдельный разговор. А пока я бы хотел ограничиться декартовым видом Лапласиана, это уже достижение.

-- Чт сен 22, 2011 02:44:08 --

И потом сфера останется сферой, а другие фигуры будут преобразовываться. Просто не для всех функций справедлива формула. Преобразование фигур следующее. Если имеем зависимость радиуса поверхности в сферической системе координат $w=w(\theta,\varphi)$, то он преобразуется с использованием формул $\psi=\ln\tg\theta/2-\cos\theta;\tau=\varphi(\sin^2\theta+1)$ в зависимость от величин $\psi,\tau$. При этом сфера останется сферой. Но так как свойства функций, для которых справедливо это преобразование, не имеют общего вида, теорема о инвариантности Гауссовой кривизны к данному частному преобразованию не применима. Частное преобразование, так как не для всех функций справедливо. Если взять произвольную функцию и подставить в уравнение Лапласа, то предлагаемые преобразования будут не тождественными.

[shwedka]

Много слов, скрывающих смысл. Вы используете наборы слов, лишенные математического содержания.

evgeniy в сообщении #485090 писал(а):

решение относительно этих координат представляется в декартовом виде.

Бессмысленный набор слов. Что такое 'декартов вид решения?'

написали формулы для функций $U,V$

Цитата:

решение вида $U(x+y)=U(\ln\tg\theta/2-\cos\theta)$ в случае первого члена и решение $V(u+v)= V[\varphi (\sin^2\theta+1)]$ в случае второго члена.

Как из них получается полное решение сферического уравнения Лапласа? Сумма -- или произведение-- или что еще?
Напишите, а потом подставьте в уравнение. Не получится! Это не решение!
обманываете.
Так что утверждение, что Вы нашли какие-то решения сферического уравнения Лапласа, неверно.
По+простому. Если есть два оператора, $A,B$ и 'частичные' решения $AU=0, BV=0$, то из этих 'решений' непросто составить решение полного уравнения $(A+B)u=0$

[evgeniy]

Нужно использовать метод разделения переменных и решение имеет вид
$U_{\alpha,\beta}(\theta,\varphi)=\exp[i\alpha(\ln\tg\theta/2-\cos\theta)+\beta \varphi (\sin^2\theta+1)]$
далее идет сложный метод построения зависимости от радиуса. сводящий каждый член интеграла к сфере, и получается интеграл по переменным $\alpha,\beta$, но как свести каждый член этого интеграла к сфере я опишу, если вы признаете, что мой метод позволяет упростить выражение для Лапласиана, сведя его почти к декартовым координатам.