Решение уравнения Пфаффа вдоль заданной кривой.

[evgeniy]

Рассмотрим уравнение Пфаффа с переменными частными производными. В данной точке удалось построить локальное решение произвольного уравнения Пфаффа. Его можно продолжить вдоль произвольной кривой линии, и в конечной точке получить решение уравнения Пфаффа, которое локально в этой точке.
$\frac{\partial U}{\partial x_l}=A_l,\eqno(1) $
Построим локальное решение уравнения Пфаффа. Причем в случае интегрируемости уравнения Пфаффа, этот ряд определит точное решение. Оно имеет вид
$U=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{l=1}^N\sum_{n_l}^n \sum_{n_1,…,n_{l-1},n_{l+1},…,n_N=0}^n\frac{1}{k}\frac{\partial^{n-1}A_l^0}{\partial x_1^{n_1} …\partial x_l^{n_l-1}…\partial x_N^{n_N}}(x_1-x_1^0)^{n_1}…(x_l-x_l^0)^{n_l}… (x_N-x_N^0)^{n_N}/n_1!...n_N; $
$\varepsilon \to 0, k \to \sum_{s=1}^N \frac{n_s}{n_s+\varepsilon};n_1+…+n_N=n\eqno(2) $
При этом локально аппроксимируется как коэффициент A_l , так и его производные.
В частности для интегрируемого уравнения Пфаффа
$dU=x_2dx_1+x_1dx_2$
получаем полином
$U(x_1,x_2)=U(x_1^0,x_2^0)+A_1^0(x_1-x_1^0)+ A_2^0(x_2-x_2^0)+\frac{1}{2}(\frac{A_1}{x_2}+\frac{A_2}{x_1})(x_1-x_1^0)(x_2-x_2^0)= U(x_1^0,x_2^0)+x_2^0(x_1-x_1^0)+ x_1^0(x_2-x_2^0)+(x_1-x_1^0)(x_2-x_2^0)= = U(x_1^0,x_2^0)+x_1x_2-x_1^0x_2^0=x_1x_2$
В случае не интегрируемого уравнения Пфаффа
$dU=x_2dx_1+2x_1dx_2$
получим формулу
$U(x_1,x_2)=U(x_1^0,x_2^0)+A_1^0(x_1-x_1^0)+ A_2^0(x_2-x_2^0)+\frac{1}{2}(\frac{A_1}{x_2}+\frac{A_2}{x_1})(x_1-x_1^0)(x_2-x_2^0)= U(x_1^0,x_2^0)+x_2^0(x_1-x_1^0)+ 2x_1^0(x_2-x_2^0)+\frac{3}{2}(x_1-x_1^0)(x_2-x_2^0)= U(x_1^0,x_2^0)+\frac{3}{2}x_1x_2-\frac{1}{2}x_1x_2^0+\frac{1}{2}x_1^0x_2-x_1^0x_2^0$
т.е. получаем рекуррентную схему относительно начального значения $U(x_1^0,x_2^0)$ для вычисления следующего значения вдоль заданного пути интегрирования $x_l=x_l(t) $, причем на последнем шаге получаем локальное решение уравнения Пфаффа.

[shwedka]

Цитата:

В данной точке удалось построить локальное решение произвольного уравнения Пфаффа.

Дайте определение локального решения по-Вашему.

Цитата:

В случае не интегрируемого уравнения Пфаффа
$dU=x_2dx_1+2x_1dx_2$
получим формулу

Эта формула не дает решения.

[evgeniy]

формула
$U(x_1,x_2)=U(x_1^0,x-2^0)+\frac{3}{2}x_1x_2-\frac{1}{2}x_1x_2^0+\frac{1}{2}x_1^0x_2+\frac{3}{2}x_1^0x_2^0$
при дифференцировании по $x_1$
определяет функцию
$\frac{3}{2}x_2-\frac{1}{2}x_2^0=x_2^0+\Delta$
которая в точке $x_2=x_2^0$ определяет решение.
аналогично и производная по $x_2$, в точке $x_2=x_2^0$ определяет решение, равное
$\frac{3}{2}x_1+\frac{1}{2}x_1^0=2x_1^0+\Delta$

[shwedka]

evgeniy в сообщении #480197 писал(а):

формула
$U(x_1,x_2)=U(x_1^0,x-2^0)+\frac{3}{2}x_1x_2-\frac{1}{2}x_1x_2^0+\frac{1}{2}x_1^0x_2+\frac{3}{2}x_1^0x_2^0$
при дифференцировании по $x_1$
определяет функцию
$\frac{3}{2}x_2-\frac{1}{2}x_2^0=x_2^0+\Delta$
которая в точке $x_2=x_2^0$ определяет решение.
аналогично и производная по $x_2$, в точке $x_2=x_2^0$ определяет решение, равное
$\frac{3}{2}x_1+\frac{1}{2}x_1^0=2x_1^0+\Delta$

Ответ не получен.
Вы используете слова: локальное решение. Пока не дадите определение, дальнейшее не имеет смысла.
Определение должно иметь вид:

локальным решением уравнения называется функция, заданная --- пишете, где заданная-- и удовлетворяющая уравнению в -- пишете, где удовлетворяет уравнению.

Пока что функция, которую Вы нарисовали, решением не является!! Ваши слова 'производная определяет решение' смысла не имеют.

[evgeniy]

Я не математик по профессии, и точного математического определение решения сформулировать затрудняюсь. Я знаю одно, ряд Тейлора, определен в окрестности точки $x^0$ и имеет вид, такой же, как и мое решение
$y=\sum_{n=0}^{\infty}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n/n!$
если его продифференцировать по x и положить $x=x_0$, то получим значение функции и ее производные. Т.е. этот ряд является локальным решением задачи. Совершенно аналогично получаем значение первой производной от потенциала, равное коэффициентам уравнения Пфаффа.
Если я начну давать определения Вы меня запутаете, и ничего хорошего из этого не получится, так что я воздержусь. Мне важна принципиальная сторона вопроса, а не математические изыски и математическая точность. Моя формула определяет решение, также как и ряд Тейлора и этого мне достаточно.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #481967 писал(а):

Моя формула определяет решение,

Пока нет определения решения, это утверждение бесмысленно. В обычном же понимании, оно ошибочно, так как решения в неинтегрируемом случае не существует.

Если Вы не математик, поучите математику, прежде, чем делать относящиеся к математике заявления.

[evgeniy]

Shwedka я скажу, почему публикую свои материалы на форуме. Вы даете хорошие советы по поводу того,, как надо решать задачу. так в случае уравнения Пфаффа, вы сказали, что нужно построить функцию, которая при нахождении частной производной определяла бы коэффициенты уравнения Пфаффа. Эта четкая мысль была сформулирована и я ее усвоил. Кроме того, Вы формулируете общие теоремы, которые накладывают ограничения на решение. Это мне тоже нравится. Но Вы привыкли у своих студентов добиваться четкой математической формулировки. Это не имеет отношения к алгоритмам решения задач, которыми я пытаюсь заниматься. Так что наверно мне придется искать другого советчика по составлению алгоритмов, хотя если бы Вы не требовали неоправданного математического крючкотворства, я бы с удовольствием излагал вам свои идеи, и надеюсь выслушивал бы конструктивные замечания. Так мне понравился ваш совет, что обобщенные функции могут подчиняться другим по форме уравнениям в частных производных. Я подумал, что это можно разрешить с помощью предельного перехода, но пока не уверен в этом. Согласен я и с существенным замечанием, что я говорю о существовании касательной и отрицаю это. Но тут поправка, существуют односторонние касательные, а при продолжении они не совпадают, т.е. нет непрерывных касательных. Но наверно у нас разные подходы к математике и мы не договоримся.
С уважением Евгений.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #481995 писал(а):

Но Вы привыкли у своих студентов добиваться четкой математической формулировки.

Да не в формулировках дело!
Вы упорно не хотите понять-- или примириться с тем-- что имеются математические теоремы, трудные или простые, говорящие о неразрешимости Ваших задач. Эти теоремы накладывают абсолютный запрет! Это не как в инженерном деле, где яркая идея может позволить создать прибор, считавшийся ранее невозножным. Нет, не так. Математические запреты -- раз и НАВСЕГДА! Никакие ухищрения их обойти не позволят! А Вы, игнорируя эти запреты, немедленно попадаете в категорию фриков. Возьмите задачу, имеющую решение, сколько угодно буду Вас консультировать. Но с неразрешимыми задачами реакция моя будет резкой и обидной.

[evgeniy]

На локальное решение уравнения Пфаффа запретов нет. Есть запрет на построение решения для всей конечной или бесконечной области. Если говорить без предлагаемой формулы, то локальное решение имеет вид
$U(x_1,...,x_N)=U(x_1^0,...,x_N^0)+ \sum_{l=1}^N A_l^0(x_l-x_l^0)+0(x_l-x_l^0)^2$
При нахождении частной производной по $x_l$ и определении $x_l=x_l^0$ получим коэффициент уравнения Пфаффа.
У каждого запрета есть лазейка, его нарушающая. Кстати решение с такими фиксированными коэффициентами удовлетворяет условию интегрируемости уравнения Пфаффа. Т.е. для получения локального решения, уравнение Пфаффа надо записать в виде
$\sum_{l=1}^N A_l^0 dx_l+0(dx_l)^2=dU$

[shwedka]

evgeniy в сообщении #482814 писал(а):

На локальное решение уравнения Пфаффа запретов нет.

Всякие обсуждения возможны лишь после того, как Вы определите, что Вы называете локальным решением.

evgeniy в сообщении #482814 писал(а):

У каждого запрета есть лазейка, его нарушающая.

Не в математике. Вспомните русскую пословицу, говорящую, кому закон не писан.

[evgeniy]

Вы занимаетесь буквоедством. Определение локального решения дается в формуле его определяющей. Я привел формулу локального решения это и есть его определение. Решение, имеющее такой вид называется локальным решением. Кроме того, я показал, что уравнение Пфаффа с точностью до квадрата приращения координаты удовлетворяет условию интегрируемости этого уравнения. Я убедился, что Вы даже решенную задачу считаете не решенной. Так что мне бессмысленно продолжать наше общение.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #483179 писал(а):

Вы занимаетесь буквоедством

Ничуть! В нормальной математике всегда начинают с определения, если вводится новое понятие.

evgeniy в сообщении #483179 писал(а):

Решение, имеющее такой вид называется локальным решением.

Чепуха. Решений в неинтегрируемом случае нет.

Давайте я сделаю Вашу работу и дам определение.

Локальным решением по evgeniy в точке называется функция, заданная в окрестности точки и удовлетворяющая в этой точке уравнению.

в таком определении существование является общим местом и элементарно известно для всех уравнений.

evgeniy в сообщении #483179 писал(а):

Кроме того, я показал, что уравнение Пфаффа с точностью до квадрата приращения координаты удовлетворяет условию интегрируемости этого уравнения.

В пользу бедных. Условие интегрируемости должно выполняться ТОЧНО!

evgeniy в сообщении #483179 писал(а):

Я убедился, что Вы даже решенную задачу считаете не решенной.

Не вижу решенной задачи.

evgeniy в сообщении #483179 писал(а):

Так что мне бессмысленно продолжать наше общение.

А это не только Вам решать. ЕСли Вы снова напишете чепуху, я молчать не буду.

[evgeniy]

Хотя бы Вы признали, что в точке имеется решение. Далее из локального решения
$U(x_1,x_2)=U(x_1^0,x_2^0)+A_1^0(x_1-x_1^0)+A_2^0(x_2-x_2^0)+0(x_1-x_1^0)^2+0(x_2-x_2^0)^2\eqno(1)$
следует дифференциальное уравнение
$\frac{dU}{dt}=A_1\frac{dx_1}{dt}+A_2\frac{dx_2}{dt}\eqno(2)$
которое получается делением на приращение $\Delta t$ и переход к пределу при приращении стремящемся к нулю.
Из дифференциального уравнения (2) путем перехода к разностному уравнению следует формула (1). Интегрируем дифференциальное уравнение (2) вдоль заданного пути интегрирования и получаем решение уравнения Пфаффа вдоль кривой. Так как в любой точке интегрирования можно перейти к формуле (1), значит в любой точке получаем решение уравнения Пфаффа.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #484681 писал(а):

получаем решение уравнения Пфаффа вдоль кривой.

Не получаете.
Вы переставили слова, и получилась чепуха.
Не в точке имеется решение, а функция, заданная в окрестности точки, удовлетворяет уравнению в одной точке. В другой точке уравнению будет удовлетворять другая функция. А единой функции, для всех точек, нет.
Поскольку ду (2) удовлетворено только в одной точке, а в других точках нарушено, то 'интегрировать' (2) нельзя.

evgeniy в сообщении #484681 писал(а):

значит в любой точке получаем решение уравнения Пфаффа

Не получаете, поскольку решения в неинтегрируемом случае нет. Вы не можете получить то, что не существует.
Как только попробуете доказать Ваши заявления, все развалится.

[evgeniy]

Уравнение (2) имеет вид вдоль кривой
$\frac{dU}{dt}=A_1[x_1(t),x_2(t)]\frac{dx_1(t)}{dt}+A_2[x_1(t),x_2(t)]\frac{dx_2(t)}{dt}$
Не понимаю почему его нельзя проинтегрировать по времени. можно записать его в конечных разностях
$dU=A_1[x_1(t),x_2(t)]\frac{dx_1(t)}{dt}dt+A_2[x_1(t),x_2(t)]\frac{dx_2(t)}{dt}dt=A_1[x_1^0,x_2^0]\frac{dx_1}{dt}_0 \Delta t+A_2[x_1^0,x_2^0]\frac{dx_2}{dt}_0 \Delta t+0(\Delta t)^2$
используя равенство
$\frac{dx_1(t)}{dt}\Delta t=x_1-x_1^0+0(\Delta t)^2$
и в точке $x_1^0$
так как $\frac{dx}{dt}0(\Delta t)=0(\Delta x)$ получим формулу для решения (1), которая которая удовлетворяет уравнению Пфаффа в каждой точке $x_1^0,x_2^0$.