2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Матанализ. 3 примера (интегралы и ряды)
Сообщение04.09.2011, 00:08 


03/09/11
275
Найти интеграл методом внесения под знак дифференциала.

$$\int\frac{dx}{\sqrt{1-\frac{4x^2}{9}}\arcsin\frac {2x}{3}}$$

А что вносить под дифференциал и как это узнать? Знаю, что $dy=y'dx$

Найти интеграл методом внесения под знак дифференциала.

$$\int\frac{xdx}{(1+x^4)\arctg{x^2}}$$

А что вносить под дифференциал и как это узнать? Знаю, что $dy=y'dx$

Исследовать на абсолютную и условную сходимости.

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{\sqrt n +\sin n}$

Абсолютная

$|\frac{\sin n}{\sqrt n +\sin n}|>|\frac{\sin n}{\sqrt n +1}|$

А как Дальше?

Условная. Похоже на признак Дирихле? Частичные суммы из синусов ограничены, но общий член $\frac{1}{\sqrt n +\sin n}$ стремится к нулю не монотонно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матанализ. 3 примера
Сообщение04.09.2011, 00:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
1) Возьмите $t = \arcsin(\frac{2x}{3})$
Ряд:
А тут нужно сделать хитрее. Абсолютно он расходится, это ясно. Насчёт условной так:
$\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}+\sin(n)} = \frac{\sin(n) \cdot (1 + \frac{\sin(n)}{\sqrt{n}})^{-1}}{\sqrt{n}}$
Теперь разложите по Тейлору до абсолютно сходящегося и подумайте над остальными.

-- Вс сен 04, 2011 00:13:43 --

2) О, появился. Арктангенс возьмите за $t$

 Профиль  
                  
 
 Re: Матанализ. 3 примера
Сообщение04.09.2011, 00:26 


03/09/11
275
Благодарю!

1, 2 .А пример же на внесение под знак дифференциала, а не замену...Можно ли сделать без замены?

А как объяснить, что сходится абсолютно, хоть и ясно это?

-- 04.09.2011, 01:32 --

$$\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}+\sin(n)} = \frac{\sin(n) \cdot (1 + \frac{\sin(n)}{\sqrt{n}})^{-1}}{\sqrt{n}}=\frac{\sin(n) \cdot (\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}}-(\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}})^2+(\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}})^3+...)}{\sqrt{n}}=\frac{\sin^2n}{n}+\dfrac{\sin^3n}{n^{3/2}}+...$$

Похоже расходится такой ряд... А если ряд расходится условно - нужно ли проверять на абсолютную сходимость?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матанализ. 3 примера
Сообщение04.09.2011, 00:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
samuil в сообщении #480129 писал(а):
Можно ли сделать без замены?

Но внесение под знак диф. - эта та же замена. Вносите корень в первом и дробь во втором. Получите ровно то же самое.

samuil в сообщении #480129 писал(а):
что сходится абсолютно

Абсолютно он расходится. Для доказательства удобно использовать формулу $|\sin(n)| \geq \sin^2(n) = 1/2(1 - \cos(2n)) $
По Тейлору разложили вы неверно

 Профиль  
                  
 
 Re: Матанализ. 3 примера
Сообщение04.09.2011, 00:38 


03/09/11
275
$$\int\frac{dx}{\sqrt{1-\frac{4x^2}{9}}\arcsin{\frac {2x} 3}}}=\frac{3}{2}\int \frac{dt}{t}=\frac{3}{2}\ln |t|+C=\frac{3}{2}\ln|{\arcsin{\frac {2x} 3}|+C$$

А как это провернуть без замены?

-- 04.09.2011, 01:44 --

Ок, ясно с интегралами (во втором тоже самое почти)

$\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}+\sin(n)} = \frac{\sin(n) \cdot (1 + \frac{\sin(n)}{\sqrt{n}})^{-1}}{\sqrt{n}}=$$=\frac{\sin(n) \cdot (1-\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}}+(\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}})^2-(\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}})^3+...)}{\sqrt{n}}=\frac{\sin n}{\sqrt n}-\frac{\sin^2n}{n}+\frac{\sin^3n}{n^{3/2}}+...$

Осталось рассмотреть такой ряд (тк оставшийся абсолютно сходится)$\sum(\frac{\sin n}{\sqrt n}-\frac{\sin^2n}{n})=\sum\frac{\sin n}{\sqrt n}-\sum\frac{\sin^2n}{n}=\text{условно сходящийся минус сходящийся = сходящийся?}$

-----------------------
Thank you!!!

 Профиль  
                  
 
 Re: Матанализ. 3 примера
Сообщение04.09.2011, 00:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
А что провернуть? Нужно лишь знать, что $d\arcsin(2x/3) = 2/3 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - (2x/3)^2}} dx$
Так как стоит равенство, то работает в обе стороны.
У вас получается: $3/2 \cdot \int 2/3 \cdot \frac{1}{(\sqrt{1 - (2x/3)^2})\arcsin(2x/3)} dx = $
$= 3/2 \int \frac{d(\arcsin(2x/3))}{\arcsin(2x/3)}$
И усё. берёте интеграл.

samuil в сообщении #480134 писал(а):
$\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}+\sin(n)} = \frac{\sin(n) \cdot (1 + \frac{\sin(n)}{\sqrt{n}})^{-1}}{\sqrt{n}}=$$=\frac{\sin(n) \cdot (1-\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}}+(\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}})^2-(\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}})^3+...)}{\sqrt{n}}=\frac{\sin n}{\sqrt n}-\frac{\sin^2n}{n}+\frac{\sin^3n}{n^{3/2}}+...$


Вот. Достаточно взять вот столько:
$\frac{\sin n}{\sqrt n}-\frac{\sin^2n}{n}+O(\frac{\sin^3n}{n^{3/2}})$
O() сходится абсолютно. Исходный ряд ведёт себя так же, как и $\frac{\sin n}{\sqrt n}-\frac{\sin^2n}{n}$
Но ряд $\frac{\sin n}{\sqrt n}$ сходится условно, а ряд $\frac{\sin^2n}{n}$ расходится. Значит и исходный расходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матанализ. 3 примера
Сообщение04.09.2011, 01:07 


03/09/11
275
А почему \sum\frac{\sin^2n}{n}$ Расходится? Частичные суммы $\sum\sin^2n$ разве не ограничены?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матанализ. 3 примера
Сообщение04.09.2011, 06:02 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
samuil в сообщении #480136 писал(а):
А почему \sum\frac{\sin^2n}{n}$ Расходится? Частичные суммы $\sum\sin^2n$ разве не ограничены?

Потому, что $\sin^2n=\dfrac{1+\cos{2n}}{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Матанализ. 3 примера
Сообщение04.09.2011, 06:30 
Заслуженный участник


21/05/11
897
Whitaker в сообщении #480144 писал(а):
samuil в сообщении #480136 писал(а):
А почему \sum\frac{\sin^2n}{n}$ Расходится? Частичные суммы $\sum\sin^2n$ разве не ограничены?

Потому, что $\sin^2n=\dfrac{1+\cos{2n}}{2}$


$\sin^2n=\dfrac{1-\cos{2n}}{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Матанализ. 3 примера
Сообщение04.09.2011, 15:52 


03/09/11
275
Цитата:
Потому, что $\sin^2n=\dfrac{1-\cos{2n}}{2}$


Ясно, благодарю!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group