Матанализ. 3 примера (интегралы и ряды)

[samuil]

Найти интеграл методом внесения под знак дифференциала.

$$\int\frac{dx}{\sqrt{1-\frac{4x^2}{9}}\arcsin\frac {2x}{3}}$$

А что вносить под дифференциал и как это узнать? Знаю, что $dy=y'dx$

Найти интеграл методом внесения под знак дифференциала.

$$\int\frac{xdx}{(1+x^4)\arctg{x^2}}$$

А что вносить под дифференциал и как это узнать? Знаю, что $dy=y'dx$

Исследовать на абсолютную и условную сходимости.

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{\sqrt n +\sin n}$

Абсолютная

$|\frac{\sin n}{\sqrt n +\sin n}|>|\frac{\sin n}{\sqrt n +1}|$

А как Дальше?

Условная. Похоже на признак Дирихле? Частичные суммы из синусов ограничены, но общий член $\frac{1}{\sqrt n +\sin n}$ стремится к нулю не монотонно.

[SpBTimes]

1) Возьмите $t = \arcsin(\frac{2x}{3})$
Ряд:
А тут нужно сделать хитрее. Абсолютно он расходится, это ясно. Насчёт условной так:
$\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}+\sin(n)} = \frac{\sin(n) \cdot (1 + \frac{\sin(n)}{\sqrt{n}})^{-1}}{\sqrt{n}}$
Теперь разложите по Тейлору до абсолютно сходящегося и подумайте над остальными.

-- Вс сен 04, 2011 00:13:43 --

2) О, появился. Арктангенс возьмите за $t$

[samuil]

Благодарю!

1, 2 .А пример же на внесение под знак дифференциала, а не замену...Можно ли сделать без замены?

А как объяснить, что сходится абсолютно, хоть и ясно это?

-- 04.09.2011, 01:32 --

$$\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}+\sin(n)} = \frac{\sin(n) \cdot (1 + \frac{\sin(n)}{\sqrt{n}})^{-1}}{\sqrt{n}}=\frac{\sin(n) \cdot (\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}}-(\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}})^2+(\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}})^3+...)}{\sqrt{n}}=\frac{\sin^2n}{n}+\dfrac{\sin^3n}{n^{3/2}}+...$$

Похоже расходится такой ряд... А если ряд расходится условно - нужно ли проверять на абсолютную сходимость?

[SpBTimes]

samuil в сообщении #480129 писал(а):

Можно ли сделать без замены?

Но внесение под знак диф. - эта та же замена. Вносите корень в первом и дробь во втором. Получите ровно то же самое.

samuil в сообщении #480129 писал(а):

что сходится абсолютно

Абсолютно он расходится. Для доказательства удобно использовать формулу $|\sin(n)| \geq \sin^2(n) = 1/2(1 - \cos(2n)) $
По Тейлору разложили вы неверно

[samuil]

$$\int\frac{dx}{\sqrt{1-\frac{4x^2}{9}}\arcsin{\frac {2x} 3}}}=\frac{3}{2}\int \frac{dt}{t}=\frac{3}{2}\ln |t|+C=\frac{3}{2}\ln|{\arcsin{\frac {2x} 3}|+C$$

А как это провернуть без замены?

-- 04.09.2011, 01:44 --

Ок, ясно с интегралами (во втором тоже самое почти)

$\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}+\sin(n)} = \frac{\sin(n) \cdot (1 + \frac{\sin(n)}{\sqrt{n}})^{-1}}{\sqrt{n}}=$$=\frac{\sin(n) \cdot (1-\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}}+(\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}})^2-(\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}})^3+...)}{\sqrt{n}}=\frac{\sin n}{\sqrt n}-\frac{\sin^2n}{n}+\frac{\sin^3n}{n^{3/2}}+...$

Осталось рассмотреть такой ряд (тк оставшийся абсолютно сходится)$\sum(\frac{\sin n}{\sqrt n}-\frac{\sin^2n}{n})=\sum\frac{\sin n}{\sqrt n}-\sum\frac{\sin^2n}{n}=\text{условно сходящийся минус сходящийся = сходящийся?}$

-----------------------
Thank you!!!

[SpBTimes]

А что провернуть? Нужно лишь знать, что $d\arcsin(2x/3) = 2/3 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - (2x/3)^2}} dx$
Так как стоит равенство, то работает в обе стороны.
У вас получается: $3/2 \cdot \int 2/3 \cdot \frac{1}{(\sqrt{1 - (2x/3)^2})\arcsin(2x/3)} dx = $
$= 3/2 \int \frac{d(\arcsin(2x/3))}{\arcsin(2x/3)}$
И усё. берёте интеграл.

samuil в сообщении #480134 писал(а):

$\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}+\sin(n)} = \frac{\sin(n) \cdot (1 + \frac{\sin(n)}{\sqrt{n}})^{-1}}{\sqrt{n}}=$$=\frac{\sin(n) \cdot (1-\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}}+(\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}})^2-(\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}})^3+...)}{\sqrt{n}}=\frac{\sin n}{\sqrt n}-\frac{\sin^2n}{n}+\frac{\sin^3n}{n^{3/2}}+...$

Вот. Достаточно взять вот столько:
$\frac{\sin n}{\sqrt n}-\frac{\sin^2n}{n}+O(\frac{\sin^3n}{n^{3/2}})$
O() сходится абсолютно. Исходный ряд ведёт себя так же, как и $\frac{\sin n}{\sqrt n}-\frac{\sin^2n}{n}$
Но ряд $\frac{\sin n}{\sqrt n}$ сходится условно, а ряд $\frac{\sin^2n}{n}$ расходится. Значит и исходный расходится.

[samuil]

А почему \sum\frac{\sin^2n}{n}$ Расходится? Частичные суммы $\sum\sin^2n$ разве не ограничены?

[Whitaker]

samuil в сообщении #480136 писал(а):

А почему \sum\frac{\sin^2n}{n}$ Расходится? Частичные суммы $\sum\sin^2n$ разве не ограничены?

Потому, что $\sin^2n=\dfrac{1+\cos{2n}}{2}$

[Praded]

Whitaker в сообщении #480144 писал(а):

samuil в сообщении #480136 писал(а):

А почему \sum\frac{\sin^2n}{n}$ Расходится? Частичные суммы $\sum\sin^2n$ разве не ограничены?

Потому, что $\sin^2n=\dfrac{1+\cos{2n}}{2}$

$\sin^2n=\dfrac{1-\cos{2n}}{2}$

[samuil]

Цитата:

Потому, что $\sin^2n=\dfrac{1-\cos{2n}}{2}$

Ясно, благодарю!