В чем первопричина появления логического исчисления

[_hum_]

Может, кто прояснит ситуацию или посоветует литературу по вопросу, откуда взялась логика. То есть, хочется услышать что-нибудь по аналогии со следующими рассуждения насчет того, откуда взялась арифметика:
люди заметили, что в мире между разными объектами существуют отношения. В первую очередь отношения эквиалентности, позволяющие отождествлять разные объекты. Как результат представители класса эквивалентности множеств "по отношению кардинальности" стали обозначаться символами 1,2,... - появилась номинальная шкала натуральных чисел. Отношение включения одного множества в другое привело к появлению отношения порядка - порядковая шкала натуральных чисел. Ну, а возможность "достраивания одного множества до другого за счет присоедниенения третьего" - к отношению, приведшему к интервальной, а затем и к абсоютной шкале.

Что же заставило начать приписывать ИСТИНА/ЛОЖЬ для конструкций языка и разрабатывать исчисление высказываний?

[hurtsy]

_hum_ в сообщении #479578 писал(а):

Что же заставило начать приписывать ИСТИНА/ЛОЖЬ для конструкций языка и разрабатывать исчисление высказываний?

Имхо, можно прочитать в биографических материалах о создателе булевой алгебры Джордже Буле. С уважением,

[Circiter]

2_hum_

Цитата:

между разными объектами существуют отношения
...
Отношение включения одного множества в другое привело к появлению отношения порядка
...
возможность "достраивания одного множества до другого за счет присоедниенения третьего

По-моему мнению, предпосылки появления исчисления высказываний -- суть полезное для народного хозяйства дублирование/смена терминологии в намеченной вами же выше схеме появления теории множеств. Такая смена описывается словарем: принадлежность -> логическое (булево) значение, объединение -> логическое ИЛИ, пересечение -> логическое И, &c...

Ну а сама идея закодировать истинностные значения через примитивы ИСТИНА/ЛОЖЬ просто проистекает из, уходящей корнями в псих.механизмы абстрагирования, необходимости/желания, именно, простите за тавтологию, закодировать. При этом двоичный код оптимален, в смысле Оккама, к примеру.

[epros]

hurtsy в сообщении #479597 писал(а):

_hum_ в сообщении #479578 писал(а):

Что же заставило начать приписывать ИСТИНА/ЛОЖЬ для конструкций языка и разрабатывать исчисление высказываний?

Имхо, можно прочитать в биографических материалах о создателе булевой алгебры Джордже Буле. С уважением,

Или об Аристотеле. Насколько я знаю, ему принадлежат исторически первые формулировки, которые сегодня трактуются как логические аксиомы именно ДВУЗНАЧНОЙ классической логики.

В этом плане интересно заметить, что вполне допустимы варианты логики, которые не ограничиваются двузначной истиной. Например, конструктивная логика в общем случае не принимает закон исключённого третьего. И началось это с критики Брауэром тех самых, восходящих к Аристотелю рассуждений.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Извините, что совсем не по теме. А где-нибудь применяется логика с истинностными значениями из $[0, 1]$ с $a \wedge b = ab$, $a \vee b = a + b - ab$ и $\neg a = 1-a$? Конструкция, вроде, естественная, но не помню, именно так определённая (то, что на $[0, 1]$ и насчёт отрицания, конечно, наверно, в любой такой логике используется, а вот насчёт $\vee$ и $\wedge$ ещё видел использование соотв. максимума и минимума) была ли кому-то когда-либо нужна.

[epros]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #479696 писал(а):

Извините, что совсем не по теме. А где-нибудь применяется логика с истинностными значениями из $[0, 1]$ с $a \wedge b = ab$, $a \vee b = a + b - ab$ и $\neg a = 1-a$? Конструкция, вроде, естественная, но не помню, именно так определённая (то, что на $[0, 1]$ и насчёт отрицания, конечно, наверно, в любой такой логике используется, а вот насчёт $\vee$ и $\wedge$ ещё видел использование соотв. максимума и минимума) была ли кому-то когда-либо нужна.

C максимумом и минимумом - это "нечёткая логика" Л.Заде. Но там зато нет закона противоречия.
Аналогичная логика с указанными Вами операциями возможна, но она, опять же, будет без закона противоречия, что нехорошо...

Вообще, эти операции, очевидно, взяты из теорвера - для независимых событий. Сам теорвер иногда именуют "вероятностной логикой", против чего есть следующее возражение: Логические операции (те же $\vee$ и $\wedge$) не определены однозначно через логическе значения операндов. Если же попытаться обойти это возражение, например, заложив в качестве аксиомы, что все высказывания независимы (что приведёт к указанным Вами формулам), то мы, увы, получим противоречие, ибо всегда можно указать пару зависимых высказываний.

-- Пт сен 02, 2011 14:43:57 --

Кстати, понятие "логика" вовсе не обязано подразумевать за собой понятие "множества значений истины".

[arseniiv]

(Оффтоп)

epros, а как вы посмотрите на такую конъюнкцию: $a + b - 1$, если данное выражение неотрицательно и $0$ в противном случае? Закон выполняется, только выглядит такое определение странным, хотя, вроде, самое «естественное» из всех.

[_hum_]

Читать первоисточники, конечно, полезно, но не думаю, что в них найду ответы на свои вопросы - ведь меня интересует взгляд на проблему "с высоты птичьего полета", а разработчики логики скорее всего руководствовались более "меркантильными" соображениями. Да и времени столько нет. Хотелось бы все-таки литературу по конкретно моей проблематике - генезис логического исчисления в свете сегодняшнего дня.

Мне интуитивно кажется пока, что ситуация где-то такова (да простят мне мою ересь знатоки):
люди стали фиксировать наличие отношений между объектами: "есть отношение/нет отношения". Эта фиксация вошла в язык (легла на бумагу). Что привело к приписыванию определенным языковым конструкциям, описывающим отношения (= высказываниям), значений Истина (присутствует)/Ложь(отсутствует). Далее заметили, что между различными отношениями тоже могут существовать отношения, которые позволяют по истинности (наличию) одних судить об истинности других. Эти "отношения между отношениями" зфиксировали на бумаге в виде "правил вывода" типа modus ponens и стали пытаться выбрать какию-то базу отношений (набор аксиом), по которым с помощью правила вывода можно было бы, не обращаясь к практике, установить наличие/отсутствие всех остальных возможных отношений. Возникла логика высказываний.

[epros]

_hum_ в сообщении #479792 писал(а):

Что привело к приписыванию определенным языковым конструкциям, описывающим отношения (= высказываниям), значений Истина (присутствует)/Ложь(отсутствует). Далее заметили, что между различными отношениями тоже могут существовать отношения, которые позволяют по истинности (наличию) одних судить об истинности других.

Даже не с точки зрения истории, а с точки зрения того, как формализуется теоретическое знание, я бы подошел наоборот: Сначала мы должны заметить, что из некоторых высказываний следуют некоторые другие, и задуматься о правилах вывода. Надо сказать, что наличие языка, аксиом и правил вывода УЖЕ ДОСТАТОЧНО для построения теории, даже если аксиомы и правила вывода этой теории не имеют никакого отношения к аксиомам классической логики.

А вот потом уже можно вспомнить про то, что выведенным (доказанным) высказываниям автоматически присваивается статус "истинные". Если же всему, что "в принципе" не может быть истинным (= доказанным), автоматически присваивать статус "ложное" (а это, как показал Гёдель, вообще-то неправильно!), то мы придём к двузначной логике - классическому исчислению высказываний со всеми его аксиомами.

-- Сб сен 03, 2011 11:41:05 --

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #479733 писал(а):

epros, а как вы посмотрите на такую конъюнкцию: $a + b - 1$, если данное выражение неотрицательно и $0$ в противном случае? Закон выполняется, только выглядит такое определение странным, хотя, вроде, самое «естественное» из всех.

Как я понял, Вам не нравится то, что конъюнкция от малоправдоподобных, но всё же не ложных высказываний оказывается ложным высказыванием? Это обычные издержки попыток построения нечётких логик: какие-то несообразности всегда есть. В логике Л. Заде, например, помимо отсутствия закона противоречия мне всегда не нравилось то, что достоверность конъюнкции и дизъюнкции не зависит от достоверности одного из операндов (у Вас это тоже есть).

Безупречен только теорвер. И плевать, что он не заслужил гордого звания "логики" только потому, что достоверность конъюнкции зависит не только от достоверностей операндов, но и от степени их зависимости друг от друга.

В конце концов, суть логики вовсе не в манипулировании логическими значениями.

[hurtsy]

epros в сообщении #479876 писал(а):

даже если аксиомы и правила вывода этой теории не имеют никакого отношения к аксиомам классической логики

Прошу не считать мой пост попыткой "пререкаться с ЗУ", но в формулировке топик-стартера, имхо, есть запрос о "первопричине", а не о конкретном исчислении из множества возможных логических исчислений. С уважением,

[epros]

hurtsy в сообщении #480199 писал(а):

epros в сообщении #479876 писал(а):

даже если аксиомы и правила вывода этой теории не имеют никакого отношения к аксиомам классической логики

Прошу не считать мой пост попыткой "пререкаться с ЗУ", но в формулировке топик-стартера, имхо, есть запрос о "первопричине", а не о конкретном исчислении из множества возможных логических исчислений.

Если чуть и попререкаемся, думаю, что в этом нет большого криминала. Насколько я понял, топикстартер хочет разобраться в первопричинах возникновения как раз одного из возможных логических исчислений - классической двузначной логики. И я предлагаю путь от общего к частному: сначала понять, что такое логическое исчисление вообще, а уж потом рассмотреть доводы в пользу того, что оно должно быть классическим двузначным.

[_hum_]

2hurtsy
Ага. Спасибо. Именно так. Хочется понять, что из существующего в мире привело к фиксации "этого существующего" в языке логики.

2epros
Наверное я немного не так сформулировал свой вопрос, указав термин "исчисление", который обычно используют в качестве синонима для формальной теории; я же имел в виду в первую очередь именно язык - совокупность элементарных конструкций с семантическим значением истина/ложь и более сложных составных (с применением знаков $\vee,\wedge,\neg,\rightarrow$) с семантическими значениями, задаваемыми известными таблицами истинности.

[epros]

_hum_ в сообщении #480431 писал(а):

Наверное я немного не так сформулировал свой вопрос, указав термин "исчисление", который обычно используют в качестве синонима для формальной теории; я же имел в виду в первую очередь именно язык - совокупность элементарных конструкций с семантическим значением истина/ложь и более сложных составных (с применением знаков $\vee,\wedge,\neg,\rightarrow$) с семантическими значениями, задаваемыми известными таблицами истинности.

Дело не в "формальной теории". Любая логика - это в первую очередь именно исчисление: исчисление высказываний, исчисление предикатов первого порядка, исчисление предикатов второго порядка ... Начав с "семантики", Вы этот момент упускаете из виду. Дело в том, что "семантика" основана на множестве исторически установившихся убеждений (некоторые из которых довольно сомнительны). В частности, таковым является и убеждение именно в двузначности логики. Если Вы будете понимать откуда это убеждение взялось, то это будет только на пользу.

[_hum_]

epros в сообщении #480435 писал(а):

Дело не в "формальной теории". Любая логика - это в первую очередь именно исчисление: исчисление высказываний, исчисление предикатов первого порядка, исчисление предикатов второго порядка ...

Исчисление, насколько я понимаю, - это формальная теория, с набором аксиом и правилами вывода теорем. Я же интересуюсь именно языком (наверное это называется дедуктивной теорией), где нет никаких аксиом, нет никаких правил вывода, есть лишь синтаксически корректные конструкции, структура которых описывается формальной грамматикой типа $P => E|(P)| (P)\vee (P)|(P)\wedge (P)|\neg(P)|(P)\rightarrow (P)$, и есть семантика, обязывающая каждому высказыванию приписывать какое-то из двух значений "И", "Л", при этом приписывать составному высказыванию значение, в соответствие с таблицами истинности для логических союзов.
Вот почему люди вынуждены (и вынуждены ли) были прийти к такому языку? Для описания чего существующего в объективной реальности (будем придерживаться диамата)?

[epros]

_hum_ в сообщении #480467 писал(а):

Исчисление, насколько я понимаю, - это формальная теория, с набором аксиом и правилами вывода теорем.

Угу. Например, классическая логика высказываний в Гильбертовской аксиоматизации содержит 11 аксиом и одно правило вывода - modus ponens. В указанном Вами смысле - это "формальная теория", однако эта теория весьма малосодержательна, т.е. она не говорит ни о чём конкретном. Т.е. по-сути - это "чистая логика".

_hum_ в сообщении #480467 писал(а):

Я же интересуюсь именно языком (наверное это называется дедуктивной теорией), где нет никаких аксиом, нет никаких правил вывода, есть лишь синтаксически корректные конструкции, структура которых описывается формальной грамматикой

Ну, уберите логические аксиомы и правила вывода. Оставшееся и будет тем, о чём Вы говорите: алфавит плюс грамматика. Кстати, грамматика логики высказываний весьма примитивна: грубо говоря, она проверяет только то, чтобы логические связки стояли между чем-то. Например, она следит за тем, чтобы строки типа $A \wedge \vee B$ не трактовались как синтаксически правильные высказывания.

_hum_ в сообщении #480467 писал(а):

Вот почему люди вынуждены (и вынуждены ли) были прийти к такому языку?

О том, что люди не вынуждены прийти к аксиомам классической логики, свидетельствует успешное существование неклассических логик.