НОД и НОК в областях целостности

[nnosipov]

Пусть $R$ --- область целостности (ассоциативное и коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля). Наибольшим общим делителем ненулевых элементов $a,b \in R$ называется любой элемент $d \in R$, удовлетворяющий условиям: 1) $d$ --- общий делитель $a$ и $b$; 2) если $d_1$ --- любой другой общий делитель $a$ и $b$, то $d$ делится на $d_1$. Аналогично определяется и наименьшее общее кратное ненулевых элементов $a,b \in R$.
1. Докажите, что если существует наименьшее общее кратное некоторых двух элементов из $R$, то существует и их наибольший общий делитель. Верно ли обратное утверждение?
2. Предположим, что в $R$ любые два элемента имеют наибольший общий делитель. Докажите, что в $R$ любые два элемента имеют наименьшее общее кратное.

[nnosipov]

3. Пусть $\mathbb{A}$ --- кольцо целых алгебраических (над $\mathbb{Q}$) чисел. Докажите, что любые ненулевые $\alpha,\beta \in \mathbb{A}$ имеют наименьшее общее кратное в $\mathbb{A}$.

P.S. Есть ли простое доказательство?

[Коровьев]

nnosipov в сообщении #479456 писал(а):

3. Пусть $\mathbb{A}$ --- кольцо целых алгебраических (над $\mathbb{Q}$) чисел. Докажите, что любые ненулевые $\alpha,\beta \in \mathbb{A}$ имеют наименьшее общее кратное в $\mathbb{A}$.

P.S. Есть ли простое доказательство?

А оно есть?
Возьмём "с потолка" два целых числа кольца $R(\sqrt { - 5})$
$x=3,y=1 + 2\sqrt { - 5}$
И пусть $z=a+b\sqrt { - 5}$ есть НОК для $x,y$
Так как $z $ делится на $3$, то $a$ и $b$ делятся на $3$
$z=3(a_1+b_1 \sqrt { - 5})$
Далее
$21=3 \cdot 7=(1 + 2\sqrt { - 5})(1 - 2\sqrt { - 5})$ делится и на $x$ и на $y,$ но не делится $xy$.
$21$ должно делиться на $z$, а значит $a_1$ и $b_1 $ делятся на $7$
$z=21(a_2+b_2 \sqrt { - 5})$
Отсюда $a_2=1, b_2=0 $, что невозможно, ибо $xy$ не делится на $21$
Иначе, не существует НОК для $x,y$
Заодно уж, для этих чисел не существует и НОД.
Почему так? Да потому, что "с потолка" я взял кольцо с неоднозначным разложением на простые множители для которых очень не всегда и не для всех чисел есть НОКи НОДы. Они всегда есть только для колец с однозначным разложением на простые множители.

[nnosipov]

Коровьев, в кольце $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ те элементы действительно не имеют НОК (и тем более НОД). Но речь идёт не о кольце $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, а о кольце $\mathbb{A}$, и там у них есть и то, и другое. Пример интересен тем, что в $\mathbb{A}$ совсем нет простых элементов.

Кстати, у Вас $R$ обозначает $\mathbb{Z}$?

[nnosipov]

Коровьев в сообщении #479590 писал(а):

$21$ должно делиться на $z$, а значит $a_1$ и $b_1 $ делятся на $7$

Что-то не понимаю этого места: почему $a_1$ и $b_1$ должны быть кратны $7$? Проясните, please.

[scwec]

nnosipov, уточните определение НОД и НОК. В $\mathbb{A}$ множество единиц. Возьмем, например, корень уравнения $x^2-4x+1=0: x=2+\sqrt{3}$. Пусть $N$ - НОК для каких-то чисел. $N_1=N(2+\sqrt{3})$. $\frac{N} {N_1}$ -целое число и $\frac{N_1} {N}$ - целое число. Кто из них НОК?

[nnosipov]

scwec в сообщении #479670 писал(а):

Кто из них НОК?

Оба: и $N$, и $N_1$. Разумеется, если НОД и/или НОК существуют, то они определены с точностью до сомножителя, являющегося единицей.

[Коровьев]

nnosipov в сообщении #479613 писал(а):

Но речь идёт не о кольце $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, а о кольце $\mathbb{A}$, и там у них есть и то, и другое. Пример интересен тем, что в $\mathbb{A}$ совсем нет простых элементов.

А что тогда это за кольцо?

nnosipov в сообщении #479456 писал(а):

3. Пусть $\mathbb{A}$ --- кольцо целых алгебраических (над $\mathbb{Q}$) чисел. Докажите, что любые ненулевые $\alpha,\beta \in \mathbb{A}$ имеют наименьшее общее кратное в $\mathbb{A}$.

Я не знаю. Пожалуйста разъясните.

nnosipov в сообщении #479613 писал(а):

Кстати, у Вас $R$ обозначает $\mathbb{Z}$?

Кольцо целых чисел $R(\sqrt { d})$ есть все числа из поля $a+b\sqrt { d}$ с рациональными $a,b$ минимальные многочлены которых имеют целые рациональные коэффициенты.
В данном случае это все числа вида a+b$\sqrt { - 5}$ с целыми $a,b$.

[nnosipov]

Коровьев в сообщении #479900 писал(а):

А что тогда это за кольцо?

Имеется в виду кольцо всех целых алгебраических над $\mathbb{Q}$ чисел.