Параметрическая запись уравнений Эйлера-Лагранжа

[PSP]

Известна ли в литературе параметрическая запись уравнений Эйлера-Лагранжа ?
(Т.е.когда координаты и время зависят от какого либо одного натурального параметра .)
Сделал параметрическую запись уравнений Эйлера-Лагранжа, но сомневаюсь в правильности.Поэтому, если такой литературы нет, может, кто напишет о том, как записать это..
Свою запись не привожу, чтоб не сбивать в своё русло размышлений..
Как только кто напишет, я своё выложу.

[Oleg Zubelevich]

Видимо, речь идет о чем-то таком. $t=t(s)$,
тогда

$$\int_{t_0}^{t_1} L(q,\dot q,t)dt=\int_{s_0}^{s_1} \tilde L(\tilde q,\tilde q')ds,\quad '=d/ds,\quad t(s_i)=t_i$$

где
$\tilde q=(q,t),\quad \tilde L(\tilde q,\tilde q')=L(q,q'/t',t)\cdot t'$
Только в каком смысле $s$ натуральный?

[ИгорЪ]

Дык 2 закон Ньютона и есть то что вы спрашиваете. Время- параметр.

[PSP]

Oleg Zubelevich в сообщении #479218 писал(а):

Видимо, речь идет о чем-то таком.тогда

$$\int_{t_0}^{t_1} L(q,\dot q,t)dt=\int_{s_0}^{s_1} \tilde L(\tilde q,\tilde q')ds,\quad '=d/ds,\quad t(s_i)=t_i$$

где
$\tilde q=(q,t),\quad \tilde L(\tilde q,\tilde q')=L(q,q'/t',t)\cdot t'$
Только в каком смысле $s$ натуральный?

точне ,вот о чём :
$t=t(s)$, $q_i=q_i(s)$,
$$\int_{t_0}^{t_1} L(q_i,\dot q_i,t)dt=\int_{s_0}^{s_1} \tilde L(s)ds
Это интеграл Эйлера-Лагранжа в параметрическом виде.А надо уравнения записать в параметрическом виде.
Натуральный- в смысле вещественный.

[alcoholist]

а в чем вопрос? $\tilde{L}=\dot{t}L$ -- считайте, что еще одна координата появилась

[Oleg Zubelevich]

Oleg Zubelevich в сообщении #479218 писал(а):

Видимо, речь идет о чем-то таком. $t=t(s)$,
тогда

$$\int_{t_0}^{t_1} L(q,\dot q,t)dt=\int_{s_0}^{s_1} \tilde L(\tilde q,\tilde q')ds,\quad '=d/ds,\quad t(s_i)=t_i$$

где
$\tilde q=(q,t),\quad \tilde L(\tilde q,\tilde q')=L(q,q'/t',t)\cdot t'$
Только в каком смысле $s$ натуральный?

Утв. Если $q(t)$ -- решение уравнений Лагранжа с лагранжианом $L$ то $\tilde q(s)=(q(t(s)),t(s))$ -- решение уравнений Лагранжа с лагранжианом $\tilde L$. Можно сформулировать и обратное утверждение

[ИгорЪ]

Обычное действие рел. частицы
S=-\int({-\dot q_i}^2)^{1/2}dt
с четырьмя функциями$q_i(t)$, задающими мировую линию от параметра $t$ - собственного времени и дает параметрические уравнения Э-Л. Это действие репараметризационно инвариантно т.е. при любых заменах $u=u(t)$ сохраняет свой вид. Пользуясь этим, выбирают статическую калибровку $q_0=t$ и фиксируют одну из четырех функций $q_i$,
и получают новое действие с тремя функциями
$S=-\int({1-\dot q_n}^2)^{1/2}dt$ , которое уже не столь "параметрично" как первоначальное.

[PSP]

ИгорЪ в сообщении #479474 писал(а):

Обычное действие рел. частицы
S=-\int({-\dot q_i}^2)^{1/2}dt
с четырьмя функциями$q_i(t)$, задающими мировую линию от параметра $t$ - собственного времени и дает параметрические уравнения Э-Л. Это действие репараметризационно инвариантно т.е. при любых заменах $u=u(t)$ сохраняет свой вид. Пользуясь этим, выбирают статическую калибровку $q_0=t$ и фиксируют одну из четырех функций $q_i$,
и получают новое действие с тремя функциями
$S=-\int({1-\dot q_n}^2)^{1/2}dt$ , которое уже не столь "параметрично" как первоначальное.

Интересное замечание.
Могу сказать, откуда возник интерес к этой задаче.
У меня есть уравнения движения некоторой линии в 4-х мерном псевдоевклидовом пространстве,полученные в параметрической форме:
$q_i=q_i(s)$
Поэтому далее встаёт задача найти лагранжиан для движения этой линии.А что бы его найти,надо сначала записать уравнения Эйлера-Лагранжа в параметрическом виде.Вот я этот топик здесь и начал.
Надо как-то мне понять, как лучше искать лагранжиан...
(Причём я не уверен,что в моём случае можно ограничиться лагранжианом с первыми производными.Не исключено, что потребуются лагранжины более высоких порядков.Пробовать надо...)

[ИгорЪ]

PSP в сообщении #479527 писал(а):

Интересное замечание.

Это классический материал и его можно найти в любом учебнике по СТО.

PSP в сообщении #479527 писал(а):

задача найти лагранжиан для движения этой линии

Как я понимаю, если есть уравнения движения, то лагранжиан восстановить можно попытаться, но вряд ли это возможно всегда. Откуда уравнения?

[PSP]

ИгорЪ в сообщении #479552 писал(а):

PSP в сообщении #479527 писал(а):

Интересное замечание.

Это классический материал и его можно найти в любом учебнике по СТО.

Не в любом.Обычно приводят непараметризируемую форму $S=-\int({1-\dot q_n}^2)^{1/2}dt$ .

ИгорЪ в сообщении #479552 писал(а):

PSP в сообщении #479527 писал(а):

задача найти лагранжиан для движения этой линии

Как я понимаю, если есть уравнения движения, то лагранжиан восстановить можно попытаться, но вряд ли это возможно всегда. Откуда уравнения?

Из соседней ветки:
http://dxdy.ru/topic48575-30.html