Обычное действие рел. частицы
с четырьмя функциями

, задающими мировую линию от параметра

- собственного времени и дает параметрические уравнения Э-Л. Это действие репараметризационно инвариантно т.е. при любых заменах

сохраняет свой вид. Пользуясь этим, выбирают статическую калибровку

и фиксируют одну из четырех функций

,
и получают новое действие с тремя функциями

, которое уже не столь "параметрично" как первоначальное.
Интересное замечание.
Могу сказать, откуда возник интерес к этой задаче.
У меня есть уравнения движения некоторой линии в 4-х мерном псевдоевклидовом пространстве,полученные в параметрической форме:
Поэтому далее встаёт задача найти лагранжиан для движения этой линии.А что бы его найти,надо сначала записать уравнения Эйлера-Лагранжа в параметрическом виде.Вот я этот топик здесь и начал.
Надо как-то мне понять, как лучше искать лагранжиан...
(Причём я не уверен,что в моём случае можно ограничиться лагранжианом с первыми производными.Не исключено, что потребуются лагранжины более высоких порядков.Пробовать надо...)